矩陣范數(shù)理論及其應(yīng)用.pdf

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1、第四章矩陣范數(shù)理論及其應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)：1、向量范數(shù)及其性質(zhì)（范數(shù)與賦范空間，n維向量的1-范數(shù)x、2-范數(shù)x、p-范數(shù)x12pHH和?范數(shù)x，limx?x，x?Px，x??PxxPPx，有限維賦范?p??p?PaaP2空間的范數(shù)是等價(jià)的）2、矩陣范數(shù)及其相容性（Frobenius范數(shù)，En?，相容性：AB?AB，E?1）F3、算子范數(shù)（定義，列范數(shù)，行范數(shù)，譜范數(shù)）4、矩陣范數(shù)的應(yīng)用（矩陣序列及冪級(jí)數(shù)的收斂性，矩陣條件數(shù)，攝動(dòng)理論、矩陣的譜半徑）§4.1向量范數(shù)及其性質(zhì)一、范數(shù)與賦范線性空間定義1

2、：如果線性空間V中的任一向量x，都對(duì)應(yīng)—個(gè)實(shí)值函數(shù)fx()（記為x），并滿足以下三個(gè)條件（稱為范數(shù)公理）：(1)非負(fù)性：x?0時(shí),x＞0；x?0時(shí),x=0。(2)齊次性：ax=ax,aK?，xV?。(3)三角不等式：xy?≤x+y，xyV,?。則稱x為V上向量x的范數(shù)（norm），V稱為賦范線性空間（normedlinearspace）。易證xy?滿足距離公理，稱之為x與y的范數(shù)誘導(dǎo)的距離。若xxn??0，則稱xn收斂于x，記為xx?。nb例1：對(duì)于連續(xù)函數(shù)空間Cab[,]中的向量fx()，可如

3、下定義范數(shù)為：ft()1??ftdt()，a1bppft()?maxft()，ft()???ft()dt，1?p??。分別稱之為1-范數(shù)，?-?atb??p?????a范數(shù)，p-范數(shù)。注：需要用到數(shù)學(xué)專業(yè)的一些函數(shù)不等式，才能證明上述范數(shù)的正確性。性質(zhì)1：對(duì)于賦范線性空間V上任意的x，定義實(shí)函數(shù)fx()?x，則fx()為V上的連續(xù)函數(shù)，即xx?時(shí)，fx()?fx()，其中xV?。000證明：由fx()?fx()0?x?x0?xx?0可知，xx?0時(shí)，fx()?fx()0。因此，fx()為V上的連

4、續(xù)函數(shù)。nn性質(zhì)2：設(shè)P為n階可逆矩陣，對(duì)于n維向量xC?，x為C中的一個(gè)范數(shù)，令1nx?Px，則x也為C中x的范數(shù)。212證明：(1)非負(fù)性：x?0時(shí)，Px?0，x??Px0；x?0時(shí),x??00。2121(2)齊次性：ax?aPx()?aPx?ax，aK?，xV?。2112(3)三角不等式：xy??PxPy??Px?Py?x?y，xyV,?。211122n因此，x為C中x的范數(shù)。2注：內(nèi)積空間是賦范線性空間，但賦范線性空間不一定構(gòu)成內(nèi)積空間。二、n維向量的p-范數(shù)(1?p??)Tn定義2：對(duì)

5、于n維向量xC??(,,??,?)，12nnx1???i，稱為x的1-范數(shù)，記為x1，由此誘導(dǎo)出的距離稱為街區(qū)距離。i?1n21x?()??2，稱為x的2-范數(shù)，記為x，由此誘導(dǎo)出的距離稱為歐氏距離。2i2i?1x?max?，稱為x的?-范數(shù)，記為x，由此誘導(dǎo)出的距離稱為棋盤距離（也?1??ini?稱契比雪夫距離）。n1ppxp?()??i，稱為x的p-范數(shù)，記為xp。i?1HHx??PxxPPx，稱之為加權(quán)范數(shù)或橢圓范數(shù)，其中P為可逆矩陣。P2n定理1：對(duì)于n維向量xC?，limx?x。p??

6、p?注：幾何意義上，向量PQ的2-范數(shù)、∞-范數(shù)和1-范數(shù)分別是斜邊PQ長度、直角邊PR長度以及兩直角邊PR和RQ的長度之和。三、范數(shù)的等價(jià)性定義3：對(duì)任意xV?，滿足不等式Cx??xCx的兩種范數(shù)稱為是等價(jià)的。12???n定理2：對(duì)于n維向量xC?，總成立著x??xnx，x??xnx，212??2px??xnx，x??xnx。??1??p定理3：設(shè)??12,,,?n是n維賦范線性空間E的一組基，則存在正數(shù)AB,，使得對(duì)一切1n??n22xE?????kk，成立著Ax??????kBx。k?1?

7、?k?1nx證明：x?????kk0時(shí)，令y?，fy(,??12,,?n)?，則f(,??12,,?n)nk?12??kk?1n2是有界閉集超球面??k?1上連續(xù)函數(shù)，從而必能取到最小值m和最大值M，且顯然k?111m?0。取AB??,，即可證得定理的結(jié)論。Mm結(jié)論1：有限維賦范空間的范數(shù)是等價(jià)的，即對(duì)于n維賦范線性空間E中的范數(shù)xx，，ab存在正數(shù)AB,，使得對(duì)一切xE?，成立著Ax??xBx。aba推論：范數(shù)xx，等價(jià)時(shí)，limx?0等價(jià)于limx?0。abnanbn??n??n注：在C中，

8、各種p-范數(shù)均是等價(jià)的，從而對(duì)于不同的問題可靈活選用適當(dāng)?shù)姆稊?shù)。n結(jié)論2：n維賦范線性空間必與n維向量空間P同構(gòu)并且同胚。n設(shè)??12,,,?n是n維賦范線性空間E的一組基，對(duì)任何xE?????kk，令k?1nTx????12,,,?n?，則T為E到P上的同構(gòu)映射，并且由Ax??TxBx可知，T與?1nT均為連續(xù)映射，從而E與P是同胚的。kkkTnTn結(jié)論3：n維向量序列?xC??(??,,,?)?收斂于向量xC??(,,??,?)的kn1212nk充分必要條件為lim????,i1,2,,n，