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《矩陣同時(shí)對角化_趙俊鋒.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、科技信息○高校講壇○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2008年第21期矩陣同時(shí)對角化趙俊鋒(忻州師范學(xué)院?？撇可轿餍弥?34000)【摘要】矩陣對角化是高等代數(shù)研究的重點(diǎn)問題之一。對于一個(gè)矩陣對角化的問題,已得到了良好的研究結(jié)果。本文分析了一些矩陣對角化的矩陣類,進(jìn)一步研究了兩個(gè)矩陣同時(shí)對角化的條件,得到了一些結(jié)果?！娟P(guān)鍵詞】矩陣;對角化;同時(shí)對角化Matrices’oppositeanglesimultaneously【Abstract】Thematrixoppositeangleisoneofkeyquestionsinadvancedalgebr
2、aresearch.Regardingamatrixoppositeanglequestion,itobtainsthegoodresult.Thispaperanalysessomematricesclassesofthematrixoppositeangle,studiestheconditionsfortwomatrices’oppositeanglesimultaneously,andobtainedsomeresults.【Keywords】Matrix,oppositeangle,oppositeanglesimultaneously.1.前言同時(shí)為對角矩陣,則稱A
3、,B可同時(shí)相似對角化。定義2設(shè)矩陣A,B∈Pn×n,在當(dāng)代社會(huì),數(shù)學(xué)已經(jīng)成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。在高等代若存在n階可逆矩陣P,使P'AP、P'BP同數(shù)或線性代數(shù)中,矩陣對角化占有重要地位。在矩陣?yán)碚?、二次型及線時(shí)為對角矩陣,則稱A,B可同時(shí)合同對角化。性變換等問題上矩陣對角化有廣泛的應(yīng)用。它是高等代數(shù)研究的主要定義3(1)設(shè)A∈Cn×n,若A*'=A,則稱A為埃爾米特矩陣;內(nèi)容,也是理論體系最完善的一部分。單個(gè)矩陣對角化的問題已在高(2)設(shè)A∈Cn×n,若A*'A=E則稱A為酉矩陣;等代數(shù)或線性代數(shù)教材中有了系統(tǒng)的討論。本文主要討論兩個(gè)或多個(gè)矩陣對角化問題,探討一部分同時(shí)對
4、角化的矩陣類,進(jìn)而加深對矩陣(3)設(shè)A∈Cn×n若A*'A=AA*'則稱A為正規(guī)陣。理論的理解和認(rèn)識,從而對于深化高等代數(shù)或線性代數(shù)的學(xué)習(xí)及問題3.2兩個(gè)矩陣同時(shí)對角化的矩陣類的解決是有益的。定理1設(shè)A,B為n階實(shí)對稱矩陣,且A為正定矩陣,則A,B可2.預(yù)備知識同時(shí)對角化。2.1有關(guān)概念證明:因?yàn)锳為n階正定矩陣,則存在n階可逆矩陣P使P'AP=定義1設(shè)矩陣A,B∈Pn×n,-1E,又因?yàn)锽為n階對稱矩陣,于是P'BP仍為對稱矩陣,存在n階正交若存在n階可逆矩陣P使PAP=B,則#λ&#λ&$1’)1’$λ’)λ’稱A相似于B。若B為對角陣,即B=$2’則稱A矩陣Q,Q-1(P
5、'BP)Q=)2’,而Q-1(P'AP)Q=Q-1EQ=E,$’)’$"’)"’$$’’))’’%λn(%λn(可相似對角化。#λ&)1’)’定義2設(shè)矩陣A,B∈Pn×n,若存在n階可逆矩陣P,使P'AP=B,則記T=PQ,則T可逆,且T'AT=E,T'BT=)λ2’)’,即A,B#λ&)"’)1’))’’)λ’%λn(稱A合同于B。若B為對角陣,即B=)2’則稱A)’同時(shí)對角化。)"’))λ’’%n(定理2設(shè)A,B為n階實(shí)對稱半正定方陣,則存在n階實(shí)可逆矩陣P,使T-1-1可合同對角化。AT,TBT同時(shí)為對角矩陣。2.2可對角化的矩陣類證明:因?yàn)锳為n階實(shí)對稱半正定方陣,所以
6、存在n階實(shí)可逆矩定理1n階實(shí)對稱矩陣可正交相似對角化。即若n階實(shí)矩陣A#λ&)1’)’#λ&)λ2’)1’)’-1))λ’’陣P,使P-1AP=))"’’滿足A=A'則存在n階正交矩陣P,使PAP=)2’)λ’r)"’)’))λ’’)"’%n()0’%(,其中λi(i=1,2,?,n)為A的特征值。又因?yàn)锽為n階實(shí)對稱陣,于是P'BP仍為對稱矩陣,存在n階正推論n階實(shí)對稱矩陣可正交合同對角化。#u&)1’定理2冪等矩陣(A=A2)一定可以對角化。)’)u2’)"’定理3任一正規(guī)矩陣N必酉相似于對角矩陣交矩陣Q,使Q-1')’(PBP)Q=)’,記T=PQ,+λ&)ur’)1’)
7、’)’)"’*)λ2’)0’U'NU=)’。%()"’))λ’’則T可逆,且A,B仍可同時(shí)合同對角化。%n(定理3設(shè)A,B為n階實(shí)對稱矩陣,且AB=BA,則A,B可同時(shí)正定理4復(fù)數(shù)域上所有的n階循環(huán)矩陣可對角化。即若n階循環(huán)矩交合同對角化。陣A,則存在可逆矩陣P,使A可對角化,并且P-1AP=diag{f(1),f(ξ),j(ξ2),?,f(ξn-1)},(f(1),f(ξ),j(ξ2),?,f(ξn-1))是A的全部特征值。證明:設(shè)n階實(shí)對稱矩陣A的特征值為λ1,λ2,?,λn,且其中λ1
