沖擊波第四講.ppt

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1、2.4雨貢紐曲線及瑞利曲線沖擊波關(guān)系式的各種表達式中雨貢紐曲線和瑞利直線兩式尤為重要，通過它們可以了解沖擊波的一些基本性質(zhì)。為討論簡單起見，設(shè)沖擊波波前是靜止狀態(tài)，即u0=0，這不會影響沖擊波的熱力學(xué)性質(zhì)，故也不影響本節(jié)討論結(jié)果的普遍意義。瑞利直線是(2.6)式，可寫為（2.43）雨貢紐關(guān)系式的一般形式是（2.44）對于理想氣體，它是(2.13)式，即（2.45）對取實用狀態(tài)方程(2.30)式的凝聚介質(zhì)，它是(2.31)式，即（2.46）其中。再則，(2.45)式及(2.46)式都表明，沿雨貢紐曲線壓力p可以由0變到∞，而比容τ則只能在τma

2、x與τmin之間變化，對于理想氣體相應(yīng)p=0及p=∞有對于凝聚介質(zhì)關(guān)于曲線的形狀，由(2.45)式及(2.46)式都看出，理想氣體和凝聚介質(zhì)的雨貢紐關(guān)系式都有（2.47）對大多數(shù)介質(zhì)，都假設(shè)其狀態(tài)方程p=g(τ，S)具有如下性質(zhì)：（2.48）瑞利直線上熵的變化定理一若介質(zhì)的狀態(tài)方程p=g(τ，S)滿足條件(2.48)式，則沿瑞利直線熵S最多只有一個極大值?，F(xiàn)將瑞利直線的方程(2.43)寫為(2.49)其中斜率，對于給定的直線它是一個常數(shù)，沿直線微分，得?？紤]到沿直線還滿足狀態(tài)方程p=g(τ，S)，于是由此得再作一次微商，得（2.50）若假設(shè)沿

3、直線((2.49)式)熵有極值，則應(yīng)有而由(2.50)式且考慮到條件(2.48)式，這時有（2.51）這就是說，若S有極值，則是極大值。由此也同時得知，沿該直線S不可能是常數(shù)?，F(xiàn)在假設(shè)沿該直線S有兩個以上的極大值，那么，在兩個極大值之間必定有一個極小值，但是，由(2.51)式知道，所有的熵的極值都是極大值，所以，沿瑞利直線熵S最多只能有一個極大值。定理一證完。瑞利直線上雨貢紐函數(shù)的變化定理二瑞利直線上熵的極值點同時是雨貢紐函數(shù)的極值點；反之，雨貢紐函數(shù)的極值點也是該直線上熵的極值點。下列函數(shù)稱為雨貢紐函數(shù)：（2.52）顯然，H(τ，p)=0就

4、是雨貢紐曲線。現(xiàn)對（2.52）式求微分，得（2.53）考慮到de=TdS－pdτ，(2.53)式化為(2.54)因為沿直線(2.49)式有(τ－τ0)dp－(p－p0)dτ=0，所以沿該直線有dH=TdS可見，在該直線上當dS=0時，就有dH=0，反之亦然。這就證明了沿瑞利直線熵S的極值點與雨貢紐函數(shù)H的極值點相重合。定理三若狀態(tài)方程滿足條件(2.48)式，則沿著瑞利直線雨貢紐函數(shù)最多只能有一個極值點。這實際上是以上兩個定理的推論。因為沿瑞利直線S與H的極值點重合，而S的極值點最多只有一個，所以H的極值點也最多只能有一個。沖擊波解的確定性要證

5、明：瑞利直線與雨貢紐曲線的交點除初始點(τ0，p0)之外只有一個?，F(xiàn)假設(shè)R直線與H曲線的交點超過兩點，即出現(xiàn)如圖(a)所示的情況，則沿R直線函數(shù)H的變化至少要出現(xiàn)兩個以上極值，這與定理三矛盾。因此，R直線與H曲線相交的圖像只能是如圖(b)所示的情況，即交點最多只能有兩個，一個是波前的“0”狀態(tài)，另一個就是波后狀態(tài)。瑞利直線（波速線）的物理意義波速線是一定波速的沖擊波傳過具有同一初始狀態(tài)(p0,v0)的不同介質(zhì)所達到的終點狀態(tài)的連線。雨貢紐曲線（沖擊絕熱線）的物理意義沖擊絕熱線上各個點的狀態(tài)就是不同波速沖擊波傳過同一初始狀態(tài)點(p0,v0)的同

6、一介質(zhì)所達到的終點狀態(tài)的連線。雨貢紐曲線與等熵線的關(guān)系首先，證明一個重要性質(zhì)：雨貢紐曲線與等熵線在初始點處二階相切。同前H(τ，p)=0或p=G(τ)表示雨貢紐曲線，而等熵線為p=g(τ，S0)，其中熵S=S0為常數(shù)。由狀態(tài)方程p=g(τ，S)可得S=S(τ，p)，于是沿雨貢紐曲線有S=S(τ，G(τ))=S(τ)，即熵只是τ的函數(shù)。所以，對雨貢紐曲線有對此式求微商，得在初始點(τ0，p0)處有，于是得到這就證明了，雨貢紐曲線p=G(τ)與等熵線p=g(τ，S0)在點(τ0，p0)處二階相切，圖4.3中的曲線S就代表過點(τ0，p0)的等熵線

7、。對理想氣體情況容易直接看出這一性質(zhì)。對其雨貢紐曲線（2.45）式求微商，得于是，在點(τ0，p0)處有這與理想氣體的等熵線p=A(S)ργ在該點的一階、二階微商完全相等。對于凝聚介質(zhì)，其雨貢紐曲線是(2.46)式，求微商得凝聚介質(zhì)的等熵線是，它的微商為在(τ0，p0)點以上兩曲線的相應(yīng)微商相等。現(xiàn)在來看等熵線在(τ，p)平面上的分布情況。根據(jù)(2.48)式的前兩點性質(zhì)可知，等熵線也是單調(diào)向上凹的。又根據(jù)gS>0得知，若S1>S0，則對相同的τ值有，即熵值大的等熵線在上方。所以，不同熵值的等熵線的分布如圖4.5所示。下節(jié)將證明，沿雨貢紐曲線熵

8、隨τ的減小而增加，即，又已知H=0與p=g(τ，S0)兩曲線在(τ0，p0)處相切，所以曲線H=0位于等熵線p=g(τ，S0)的上方。由于沿雨貢紐曲線有而根據(jù)條件(