平衡點(diǎn)相軌線(xiàn).doc

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1、平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))(0，0)的結(jié)構(gòu)與特征方程＝0的根λ1、λ2密切相關(guān)。當(dāng)時(shí)，可經(jīng)非退化的線(xiàn)性變換將上方程所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程凧=αx+by,夻=сx+dy化為標(biāo)準(zhǔn)型,將變換后的變量仍以x,y表示，則線(xiàn)性方程奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)可化為下列幾種情形：①λ1與λ2為同號(hào)實(shí)根，奇點(diǎn)(0,0)叫結(jié)點(diǎn)。從結(jié)點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)出發(fā)的任何軌線(xiàn)都沿確定方向無(wú)限趨近它(當(dāng)t→+或t→-,視λ1和λ2為負(fù)或?yàn)檎?。若λ1≠λ2，方程可化為凧=λ1x,夻=λ2y,以0>λ1>λ2為例,其圖形為圖1之a(chǎn)。若λ1=λ2,且初等因子是單的，方程同(α),以λ1<0為例，其圖形如圖

2、1之b。若λ1=λ2,且初等因子是重的，方程可化為f1=λ1x,g1=-x+λ1y，其圖形如圖1之c?！　、讦?與λ2為異號(hào)實(shí)根，奇點(diǎn)(0,0)叫鞍點(diǎn)。從鞍點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)出發(fā)的軌線(xiàn)，有二條當(dāng)t→+時(shí)沿確定方向無(wú)限趨近它，而另有二條當(dāng)t→-時(shí)沿確定方向無(wú)限趨近它，這四條軌線(xiàn)叫做分界線(xiàn)，其余軌線(xiàn)都雙側(cè)離開(kāi)此鄰域。這時(shí)方程如①中λ1≠λ2的情形，以λ1>0>λ2為例，其圖形如圖1之d?！　、郐?,2=α±iβ，α，β≠0,奇點(diǎn)（0,0）叫焦點(diǎn)。從焦點(diǎn)充分小鄰域出發(fā)的軌線(xiàn)都螺旋形地?zé)o限趨近它（當(dāng)t→+或t→-,視α為負(fù)或?yàn)檎ǎ?。此時(shí)方程可

3、化為f1=αx+βy，g1=-βx+αy。以α<0、β>0為例，其圖形如圖1之e?！　、墚?dāng)λ1,2=±iβ,β≠0,奇點(diǎn)(0,0)叫中心。在中心的充分小鄰域內(nèi)都是圍繞中心的閉軌線(xiàn)（如圖1之f）。加上高次項(xiàng)P1和Q1后，當(dāng)P1和Q1是x、y的解析函數(shù)時(shí),奇點(diǎn)(0,0)或是中心或是焦點(diǎn)。中心和焦點(diǎn)的判別一般來(lái)說(shuō)需要進(jìn)行無(wú)限步的代數(shù)運(yùn)算或積分運(yùn)算?！　【C上所述，平面線(xiàn)性系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)不計(jì)時(shí)間走向共有三種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu):中心、鞍點(diǎn)、焦結(jié)和結(jié)點(diǎn);后兩者的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同，即其圖形只差一個(gè)拓?fù)渥儞Q。