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《中考數(shù)學(xué)幾何證明壓軸題.doc》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、北京優(yōu)學(xué)教育之中考數(shù)學(xué)幾何證明一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1.（2004安徽蕪湖）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點(diǎn).已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1)求證：E點(diǎn)在y軸上；(2)如果有一拋物線經(jīng)過A，E，C三點(diǎn)，求此拋物線方程.(3)如果AB位置不變，再將DC水平向右移動k(k>0)個(gè)單位，此時(shí)AD與BC相交于E′點(diǎn)，如圖②，求△AE′C的面積S關(guān)于k的函數(shù)解析式.圖②C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxE′yC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy圖①[解]（1）（本小題介紹二種方法，供參考）方法一：過E作
2、EO′⊥x軸，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴∴DO′=DO，即O′與O重合，E在y軸上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直線方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直線方程：y=-x-2②聯(lián)立①②得∴E點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），即E點(diǎn)在y軸上（2）設(shè)拋物線的方程y=ax2+bx+c(a≠0)過A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三點(diǎn)，得方程組解得a=-1,b=0,c=-2∴拋物線方程y=-x2-2（3）（本小題給出三種方法，供參考）由（1）當(dāng)DC水平向右平移k后，過A
3、D與BC的交點(diǎn)E′作E′F⊥x軸垂足為F。同（1）可得：得：E′F=2方法一：又∵E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k為所求函數(shù)解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k為所求函數(shù)解析式.證法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k為所求函數(shù)解析式.2.（2004廣東茂名）已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（1，0）為圓心、直徑AC為的圓與y軸交
4、于A、D兩點(diǎn).（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線y＝x＋b與x軸交于點(diǎn)B.探究：直線AB是否⊙M的切線？并對你的結(jié)論加以證明；（3）連接BC，記△ABC的外接圓面積為S1、⊙M面積為S2，若，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過B、M兩點(diǎn)，且它的頂點(diǎn)到軸的距離為.求這條拋物線的解析式.[解]（1）解：由已知AM＝，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（0，1）（2）證：∵直線y＝x＋b過點(diǎn)A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1令y＝0則x＝－1 ∴B（—1，0），AB＝在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝9
5、0°∴直線AB是⊙M的切線（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圓的直徑為BC，ABCDxM·y∴而 ，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B（—1，0）、M（1，0）的拋物線的解析式為：y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5∴拋物線的解析式為y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（—1，0）、M（1、0），則拋物線的對稱軸是y軸，由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±5）∴拋物線的解析式為y＝a（x－0）2±5又B（－1,0）、M（1,0）在拋物線上，∴a
6、±5＝0，a＝±5∴拋物線的解析式為y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因?yàn)閽佄锞€的方程為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）由已知得∴拋物線的解析式為y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.(2004湖北荊門)如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P（1，－1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)C在⊙P上.(1)求⊙P上劣弧的長；(2)求拋物線的解析式；ABCOxy·P（1，－1）(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.[解]（1）如圖，連結(jié)PB，過P作PM⊥x軸，垂足為M
7、. 在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°ABCOxyP（1，－1）·M的長＝（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,則MB＝MA＝.又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），由拋物線及圓的對稱性得知點(diǎn)C在直線PM上，則C(1，－3).點(diǎn)A、B、C在拋物線上，則 解之得拋物線解析式為（3）假設(shè)存在點(diǎn)D，使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且PC∥OD.又PC∥y軸，∴點(diǎn)D在y軸上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又點(diǎn)D（0，－2）在拋物線上，故存在點(diǎn)D
