《近世代》模擬試卷.doc

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1、《近世代數(shù)》模擬試卷一、(16分)敘述概念或命題1.正規(guī)子群;2.唯一分解環(huán);3.代數(shù)數(shù);4.魯非尼-阿貝爾定理二、(12分)填空題1.設(shè)有限域的階為81,則的特征。2.已知群中的元素的階等于50,則的階等于。3.一個(gè)有單位元的無(wú)零因子稱(chēng)為整環(huán)。4.如果710002601是一個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào),那么。三、(10分)設(shè)是群。證明:如果對(duì)任意的,有,則是交換群。四、(10分)證明:任何方陣都可唯一地表示成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和。五、(15分)設(shè)是四元數(shù)體,對(duì)H中任意元,定義其共軛。1.證明:是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù);2.對(duì),,求,和。六、(15分)設(shè),是整數(shù)環(huán)的理想,試求下列各理想,并簡(jiǎn)述理由。1.

2、;2.;3.七、(10分)設(shè)有置換,。1.求和;2.確定置換和的奇偶性。八、(12分)求剩余類(lèi)加群Z12中每個(gè)元素的階。《近世代數(shù)》試卷答案一、1.若H是群G的子群,且對(duì)每個(gè),有,那么H稱(chēng)為是G的正規(guī)子群。2.設(shè)R是個(gè)整環(huán),若對(duì)于R中每個(gè)非零非單位的元都有唯一分解,則稱(chēng)R為唯一分解環(huán)。3.有理數(shù)域上的代數(shù)元稱(chēng)為代數(shù)數(shù)。4.如果(特征為0),那么次的一般方程沒(méi)有根式解。二、1.32.253.交換環(huán)4.6三、對(duì)于G中任意元x,y,由于,所以(對(duì)每個(gè)x,從可得)。四、設(shè)A是任意方陣,令,,則B是對(duì)稱(chēng)矩陣,而C是反對(duì)稱(chēng)矩陣,且。若令有,這里和分別為對(duì)稱(chēng)矩陣和反對(duì)稱(chēng)矩陣,則,而等式左邊是對(duì)稱(chēng)矩陣,右邊

3、是反對(duì)稱(chēng)矩陣,于是兩邊必須都等于0,即:,,所以,表示法唯一。五、1.2.,,六、1.;2.;3.七、1.,;2.兩個(gè)都是偶置換。八、元素01234567891011階1126431221234612

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