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《抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性【自我診斷】1.（1）在函數(shù)f(x)對(duì)于定義域內(nèi)的任取x1，都有x2滿(mǎn)足x1＋x2＝0，且f(x1)＝f(x2)恒成立，則該函數(shù)是____函數(shù)；（2）在函數(shù)f(x)對(duì)于定義域內(nèi)的任取x1，都有x2滿(mǎn)足x1＋x2＝0，且f(x1)＝－f(x2)恒成立，則該函數(shù)是____函數(shù)．【答案】（1）偶；（2）奇．2．已知f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y恒成立，且f(0)≠0，判斷f(x)的奇偶性．【答案】偶函數(shù)．【解析】令x＝0，y＝0，代入式子f(
2、x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)可得2f(0)＝2f(0)·f(0)，且f(0)≠0，所以f(0)＝1．令x＝0，代入式子f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)可得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，化簡(jiǎn)得f(－y)＝f(y)．所以f(x)是偶函數(shù)．【反思】背景函數(shù)f(x)＝cosx．3.函數(shù)f(x)的值域不是單元素集合，定義域?yàn)镽，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y恒有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，且f(1)＝0，則f(2016)的值
3、是_________．【解析】令x＝＋1，y＝，代入已知式得f(u＋2)＋f(u)＝2f(u＋1)f(1)＝0，所以f(u＋2)＝－f(u)．所以f(u＋4)＝f[(u＋2)＋2]＝－f(u＋2)＝f(u)．所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)．所以f(2016)＝f(4×504＋0)＝f(0)．在f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)中，令x＝y(tǒng)，則2f(2x)＝2f(2x)f(0)恒成立，所以f(0)＝1．所以f(2016)＝1．【反思】背景函數(shù)f(x)＝cosx．4.已知函數(shù)f(x)（
4、x∈R）滿(mǎn)足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝
5、x－2x－3
6、與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則x1＋x2＋…xm的值為（）．（A）0（B）m（C）2m（D）4m【答案】B．【解析】因?yàn)閥＝f(x)，y＝
7、x－2x－3
8、都關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)．當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，所求的和為2×＝m；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，所求的和為2×＋1＝m．因此選B．5.已知函數(shù)f(x)（x∈R）滿(mǎn)足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(
9、x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則x1＋y1＋x2＋y2＋…xm＋ym的值為（）．（A）0（B）m（C）2m（D）4m【答案】B．【解析】由f(－x)＝2－f(x)，得f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y＝＝1＋也關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱(chēng)，所以?xún)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱(chēng)，將除點(diǎn)(0，1)外的其余交點(diǎn)兩兩配對(duì)，對(duì)于每一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)有xi＋xj＝0，yi＋yj＝0，所以x1＋y1＋x2＋y2＋…xm＋ym＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝0＋2×＝m．6．設(shè)定義
10、在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，證明f(x)是周期函數(shù)．【證明】由已知f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，得f(x＋1)＝f(x＋2)－f(x＋3)，上面兩式相加，得f(x)＝－f(x＋3)，由此式可得f(x＋3)＝－f(x＋6)，從而，得f(x)＝f(x＋6)．所以f(x)是周期為6的函數(shù)．7.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，證明f(x)是周期函數(shù)．【證明】函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以f(x)＝f(2－x)，x∈R．又由f(x)
11、是偶函數(shù)得f(x)＝f(－x)，所以f(－x)＝f(2－x)，x∈R．將上式中的－x用x代換，得f(x)＝f(2＋x)，x∈R．這表明f(x)是以2為周期的周期函數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練】1．若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y恒成立，且不恒等于0，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．【答案】奇函數(shù)．2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且存在c＞0，使得f()＝0，求證：f(x)是周期函數(shù)．【答案】f(x)是以2c為周期的周期函數(shù)．
