(7)逆算符（8）算符函數(shù)（9）復(fù)共軛算符（10）轉(zhuǎn)置算符（11）.ppt

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1、（7）逆算符（8）算符函數(shù)（9）復(fù)共軛算符（10）轉(zhuǎn)置算符（11）厄密共軛算符（12）厄密算符（1）線性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之積（5）對易關(guān)系（6）對易括號（二）算符的一般特性回顧：(12)厄密算符1.定義:滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)1:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質(zhì)2:兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。因為(??)+=?+?+=??≠??僅當(dāng)[?,?]=0成立時,(??)+=??才成立。性質(zhì)性質(zhì)3定理任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實數(shù)當(dāng)逆

2、定理任何狀態(tài)下平均值為實數(shù)的算符必為厄密算符推論：實驗上可以觀測的力學(xué)量，其平均值為實數(shù)，其相應(yīng)算符均為厄密算符（一）動量算符（1）動量算符的厄密性（2）動量本征方程（3）箱歸一化（二）角動量算符（1）角動量算符的形式（2）角動量本征方程（3）角動量算符的對易關(guān)系（4）角動量升降階算符§2動量算符和角動量算符（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處趨于零的邊界條件。（2）動量本征方程其分量形式：證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數(shù)的邊界條件有關(guān)。I.求解這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數(shù)。如果取

3、c

4、2(2π?)3=1

5、則ψp(r)就可歸一化為δ-函數(shù)。解之得到如下一組解：于是：II.歸一化系數(shù)的確定采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應(yīng)點A,A’上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如:動量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為δ-函數(shù)。但是，如果我們加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。所以c=L-3/2，歸一化的本征函數(shù)為：波

6、函數(shù)變?yōu)檫@時歸一化系數(shù)c可由歸一化條件來確定：討論：（1）箱歸一化實際上相當(dāng)于如圖所示情況：(a)A’(b)A(c)yx（2）由px=2nx??/L,py=2ny??/L,pz=2nz??/L,可以看出，相鄰兩本征值的間隔?p=2??/L與L成反比。當(dāng)L選的足夠大時，本征值間隔可任意小，當(dāng)L??時，本征值變成為連續(xù)譜。（3）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜歸一化為?函數(shù)（4）?p(r)×exp[–iEt/?]就是自由粒子波函數(shù)，在它所描寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算符在這個態(tài)中的本征值。（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根

7、據(jù)量子力學(xué)基本假定II，量子力學(xué)角動量算符為:(I)直角坐標(biāo)系角動量平方算符經(jīng)典力學(xué)中，若動量為p，相對點O的位置矢量為r的粒子繞O點的角動量是：由于角動量平方算符中含有關(guān)于x，y，z偏導(dǎo)數(shù)的交叉項,所以直角坐標(biāo)下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標(biāo)較為方便.直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系?xz球坐標(biāo)r?y這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐標(biāo)將（1）式兩邊分別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：將（2）式兩邊分別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：對于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分

8、別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：將上面結(jié)果代回原式得：則角動量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：（2）本征方程(I)Lz的本征方程求歸一化系數(shù)正交性：I。波函數(shù)有限條件，要求?z為實數(shù)；II。波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)φ轉(zhuǎn)過2π角回到原位時波函數(shù)值相等，即：合記之得正交歸一化條件：最后得Lz的本征函數(shù)和本征值：討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周期性邊界條件(II)L2的本征值問題L2的本征值方程可寫為：為使Y(?,?)在?變化的整個區(qū)域(0,π)內(nèi)都是有限的，則必須滿足：?=?（?+1),其中?=0,1,2,...其中Y(?,?)是L2屬于本征值?2的本征函數(shù)。此方程就是大家

9、熟悉的球諧函數(shù)方程，其求解方法在數(shù)學(xué)物理方法中已有詳細(xì)的講述，得到的結(jié)論是：該方程的解就是球函數(shù)Ylm(?,?)，其表達(dá)式：歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定其正交歸一條件為：具體計算請參考有關(guān)數(shù)學(xué)物理方法的書籍，在這里就不作詳細(xì)介紹了。(III)本征值的簡并度由于量子數(shù)?表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)。可知，對應(yīng)一個?值，m取值為0,±1,±2,±3,...,±?共(2?+1)個值。因此當(dāng)?確定后，尚有(2?+1)個磁量子狀態(tài)不確定。換言之，對應(yīng)一個?值有(2?+1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，?的簡并度是(2?+1)度。根據(jù)球函數(shù)定義式（

10、3）角動量算符的對易關(guān)系證：§3電子在