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《高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件上第2_4隱函數(shù).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)相關(guān)變化率第二章一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對(duì)x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)故切線方程為即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊
2、取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊對(duì)x求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1)對(duì)冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,對(duì)x求導(dǎo)兩邊取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))關(guān)系,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束?例4.設(shè),且求已知解:練
3、習(xí):P111題8(1)解:注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)?為切線傾角,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時(shí),傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對(duì)t求導(dǎo),得故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法
4、:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時(shí),觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為?,則兩邊對(duì)t求導(dǎo)已知h=500m時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考題:當(dāng)氣球升至500m時(shí)停住,有一觀測(cè)者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500m時(shí),仰角的增加率是多少?提示:對(duì)t求導(dǎo)已知求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束試求當(dāng)容器內(nèi)水例8.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,
5、位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解:設(shè)時(shí)刻t容器內(nèi)水面高度為x,水的兩邊對(duì)t求導(dǎo)而故體積為V,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4.相關(guān)變化率問題列出依賴于t的相關(guān)變量關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.求螺線在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解:化為參數(shù)方程當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)斜率∴切線方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)求提示:分別用對(duì)數(shù)微分法求答案:機(jī)動(dòng)目錄上
6、頁下頁返回結(jié)束3.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束①作業(yè)P1101(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)備用題1.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,求解：2.設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束
