高等數(shù)學(xué)方明亮7.3 全微分課件.ppt

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1、第三節(jié)全微分第七章(TotalDifferential)一、全微分的定義二、全微分存在的條件三、小結(jié)與思考練習(xí)7/27/20211一、全微分的定義引例:設(shè)一塊長方形金屬薄片的長和寬分別為x、y，（DefinitionofTotalDifferentials）從而薄片的面積為S＝xy，金屬薄片受溫度變化的影響,變到長由變到寬由則此薄片面積的增量為關(guān)于△x、△y的線性主部當(dāng)時，是比的高階無窮小.故稱為函數(shù)S＝xy在點(x,y)的全微分7/27/20212定義函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于?x,?y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y

2、)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.一般地，我們有二元函數(shù)全微分的定義。7/27/20213二、全微分存在的條件函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微得函數(shù)在該點連續(xù)即由微分定義:(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微（ExistenceConditionsofTotalDifferential）7/27/20214若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x的偏增量因此有定理1(必要條件

3、)7/27/20215反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:7/27/20216證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.定理2(充分條件)7/27/20217所以函數(shù)在點可微.注意到,故有7/27/20218類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是推廣:7/27/20219在點(2,1)處的全微分.解:例2計算函數(shù)的全微分.解:例1計算函數(shù)（自學(xué)課本例1）7/27/202110內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函

4、數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)7/27/202111課后練習(xí)習(xí)題7－31（偶數(shù)題）；2（2）；4思考與練習(xí)1.已知答案:2.設(shè)（詳細解答見下頁）7/27/202112解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z具有輪換對稱性2.設(shè)7/27/202113函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.3.選擇題7/27/202114在點(0,0)可微.在點(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù).但偏導(dǎo)數(shù)在點(0,0)不連4.證明函數(shù)所以7/27/202115同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,0)也不連續(xù).2

5、)3)7/27/2021164)下面證明可微:說明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則7/27/202117