資源描述：
《計算方法龍格庫塔方法課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、得到高精度方法的一個直接想法是利用Taylor展開假設式y(tǒng)'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑,將y(xi+1)在xi點作Taylor展開，若取右端不同的有限項作為y(xi+1)的近似值，就可得到計算y(xi+1)的各種不同截斷誤差的數(shù)值公式。例如：取前兩項可得到9.4龍格－庫塔方法2021/9/151其中P階泰勒方法若取前三項，可得到截斷誤差為O(h3)的公式類似地，若取前P+1項作為y(xi+1)的近似值，便得到2021/9/152顯然p=1時,yi+1=yi+hf(xi,yi)它即為我們熟悉的Euler方法。當p≥2時,要利用泰勒方法就需要計算f(x,y)的高階微商。
2、這個計算量是很大的，尤其當f(x,y)較復雜時，其高階導數(shù)會很復雜。因此，利用泰勒公式構造高階公式是不實用的。但是泰勒級數(shù)展開法的基本思想是許多數(shù)值方法的基礎。R-K方法不是直接使用Taylor級數(shù),而是利用它的思想2021/9/1539.4.1龍格-庫塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改寫成則yi+1的表達式與y(xi+1)的Taylor展開式的前兩項完全相同,即局部截斷誤差為O(h2)。Runge-Kutta方法是一種高精度的單步法,簡稱R-K法2021/9/154同理，改進Euler公式可改寫成上述兩組公式在形式上共同點:都是用f(x,y)在某些點上值的線性組合得出y(xi+1)
3、的近似值yi+1,且增加計算的次數(shù)f(x,y)的次數(shù),可提高截斷誤差的階。如歐拉法:每步計算一次f(x,y)的值,為一階方法。改進歐拉法需計算兩次f(x,y)的值，為二階方法。局部截斷誤差為O(h3)2021/9/155于是可考慮用函數(shù)f(x,y)在若干點上的函數(shù)值的線性組合來構造近似公式，構造時要求近似公式在(xi,yi)處的Taylor展開式與解y(x)在xi處的Taylor展開式的前面幾項重合，從而使近似公式達到所需要的階數(shù)。既避免求高階導數(shù),又提高了計算方法精度的階數(shù)?；蛘哒f,在[xi,xi+1]這一步內(nèi)多計算幾個點的斜率值，然后將其進行加權平均作為平均斜率，則可構造出更高精度的計算
4、格式，這就是龍格—庫塔（Runge-Kutta）法的基本思想。2021/9/156一般龍格－庫塔方法的形式為2021/9/157其中ai,bij,ci為待定參數(shù)，要求上式y(tǒng)i+1在點(xi,yi)處作Tailor展開，通過相同項的系數(shù)確定參數(shù)。稱為P階龍格－庫塔方法。Runge-Kutta方法的推導思想對于常微分方程的初值問題的解y=y(x)，在區(qū)間[xi,xi+1]上使用微分中值定理，有即2021/9/158引入記號就可得到相應的Runge-Kutta方法2021/9/159如下圖即則上式化為即Euler方法Euler方法也稱為一階Runge-Kutta方法2021/9/15109.4.2
5、二階龍格—庫塔法在[xi,xi+1]上取兩點xi和xi+a2=xi+a2h,以該兩點處的斜率值K1和K2的加權平均(或稱為線性組合)來求取平均斜率k*的近似值K，即式中:K1為xi點處的切線斜率值K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)K2為xi+a2h點處的切線斜率值,比照改進的歐拉法,將xi+a2視為xi+1，即可得確定系數(shù)c1、c2、a2、b21，可得到有2階精度的算法格式2021/9/1511因此將y(xi+1)在x=xi處進行Taylor展開：將在x=xi處進行Taylor展開：2021/9/15122021/9/1513K1=hf(xi,yi)這里有4個未知數(shù)，3個方程。存在無窮
6、多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。令對應項的系數(shù)相等，得到2021/9/1514注意到，就是二階龍格-庫塔公式，也就是改進的歐拉法。因此，凡滿足條件式有一簇形如上式的計算格式，這些格式統(tǒng)稱為二階龍格—庫塔格式。因此改進的歐拉格式是眾多的二階龍格—庫塔法中的一種特殊格式。2021/9/1515若取，就是另一種形式的二階龍格-庫塔公式。此計算公式稱為變形的二階龍格—庫塔法。式中為區(qū)間的中點。也稱中點公式。Q:為獲得更高的精度，應該如何進一步推廣？2021/9/1516二級R-K方法是顯式單步式,每前進一步需要計算兩個函數(shù)值。由上面的討論可知,適當選擇四個參數(shù)c1,c2,a2,b
7、21，可使每步計算兩次函數(shù)值的二階R-K方法達到二階精度。能否在計算函數(shù)值次數(shù)不變的情況下,通過選擇不同的參數(shù)值,使得二階R-K方法的精度再提高呢?答案是否定的！無論四個參數(shù)怎樣選擇,都不能使公式的局部截斷誤差提高到三階。這說明每一步計算兩個函數(shù)值的二階R-K方法最高階為二階。若要獲得更高階得數(shù)值方法,就必須增加計算函數(shù)值的次數(shù)。2021/9/15179.4.3三階龍格—庫塔法2021/9/1518為進一步提
