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1、§0.0概率空間一、隨機(jī)事件的公理化定義回顧初等概率論中引進(jìn)古典概率、幾何概率等定義，有如下問題：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω,是否Ω的每一個(gè)子集(事件)都能確定概率?定義(σ代數(shù))：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,F是Ω的子集組成的集族，滿足(2)若A∈F,則.（對(duì)逆運(yùn)算封閉）(3)若則（對(duì)可列并運(yùn)算封閉）σ可加稱F為Ω的一個(gè)σ-代數(shù)（事件體）,F中的集合稱為事件.(1)Ω∈F;Ex.1在編號(hào)為1,2,…,n的n個(gè)元件中取一件.樣本空間為構(gòu)造如下事件:………1.考慮元件的編號(hào)，則全體基本事件為可驗(yàn)證集族組成一個(gè)σ代數(shù).2.考慮元件是正品或次品，則基本事件為A1=
2、{取到正品},A2={取到次品}則為一個(gè)σ代數(shù).Ex.2測(cè)量一個(gè)零件,考慮其測(cè)量結(jié)果與實(shí)際長(zhǎng)度的誤差.基本事件為{x},樣本空間為則R1的子集全體：,單點(diǎn)集{x}，一切開的,閉的，半開閉區(qū)間等組成的集族F是一個(gè)代數(shù).另外，令={出現(xiàn)正誤差}={出現(xiàn)負(fù)誤差}則為一個(gè)σ代數(shù).注：對(duì)同一研究對(duì)象的同一試驗(yàn),試驗(yàn)?zāi)康牟煌?其樣本空間和σ代數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)不同.定義(可測(cè)空間)樣本空間Ω和σ代數(shù)的二元體(Ω,F)稱為可測(cè)空間.可測(cè)空間有如下性質(zhì)：1.2.對(duì)可列交運(yùn)算封閉.若證3.對(duì)有限并,有限交封閉:若則4.對(duì)差運(yùn)算封閉,即若則.二、概率的公理化定義柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論
3、的基石.定義(概率)：設(shè)(Ω,F)是一可測(cè)空間,對(duì)定義在F上的實(shí)值集函數(shù)P(A),滿足1)非負(fù)性：對(duì)2)規(guī)范性:P(Ω)=1;3)完全可加性,對(duì)有稱P是(Ω,F)上的概率(測(cè)度),P(A)是事件A的概率.三元體(Ω,F,P)稱為概率空間.Ex.3設(shè)某路口到達(dá)的車輛數(shù)為m,基本事件為{m},樣本空間F是Ω的一切子集組成的集族，則F是一個(gè)σ代數(shù).令P(φ)=0,并對(duì)A∈F令證明P為可測(cè)空間(Ω,F)上的概率測(cè)度.證1)2)因3)設(shè)有三、乘積樣本空間設(shè)A和B是兩個(gè)集合，稱為A與B的積集.定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)Ei,i=1,2,…n的樣本空間分別為Ωi,i=1,2,…n,稱
4、Ω1×Ω2×…×Ωn={(ω1,ω2…,ωn),ωi∈Ωii=1,2,…,n}為乘積樣本空間.Ex.3設(shè)拋一枚均勻硬幣試驗(yàn)E1的樣本空間為擲一顆均勻硬幣骰子試驗(yàn)E2的樣本空間為先擲一顆均勻硬幣骰子,再拋一枚均勻硬幣試驗(yàn)的樣本空間可設(shè)為Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2),ωi∈Ωii=1,2}有ω=(T,i)∈Ω,ω=(H,i)∈Ω,i=1,2,…,6.Ex.4n次獨(dú)立重復(fù)拋一枚均勻硬幣試驗(yàn)E的樣本空間為Ωn={(ω1,ω2…,ωn),ωi∈Ω,i=1,2,…,n}=Ω×Ω×…×Ω=Ωn稱為Ω的n維乘積空間.如(T,T,H)∈Ω3,(H,T,H)∈Ω3.
