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《同濟(jì)版大一高數(shù)下第七章習(xí)題課講課教案.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、高等數(shù)學(xué)第三十三講1一階微分方程的習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問(wèn)題解法及應(yīng)用第七章2一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類(lèi)型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程3例1.求下列方程的通解:將方程改寫(xiě)為(貝努里方程)解通解4方法1這是一個(gè)齊次方程.方法2化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程.5例2.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g
2、(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:6(2)由一階線性微分方程解的公式得于是例2.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:7練習(xí)題:P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去C得P353題3求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:提示:原式：8提示:可化為關(guān)于x的一階線性方程提示:為貝努里方程,令提示:為全微分方程,通解微分倒推公式9練習(xí)題:
3、P354題5.已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:設(shè)曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱切線上的動(dòng)點(diǎn)為(X,Y),10二階微分方程的習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用解法及應(yīng)用一、兩類(lèi)二階微分方程的解法第七章11一、兩類(lèi)二階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解122.二階線性微分方程的解法常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法13解答提示P353題2求以為通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因
4、此微分方程為P352題3求下列微分方程的通解提示:令則方程變?yōu)?4P354題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問(wèn)題改為求解則求解過(guò)程中得問(wèn)開(kāi)方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?15解特征方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為例1原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為設(shè)原方程的特解為16故原方程的通解為例1由解得所以原方程滿足初始條件的特解為17例2:設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:18例3：設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且為一全微分方程，求此微分方程的通解。解令解得令特解19利用通解20例4有特而對(duì)應(yīng)齊次方程有解及微分方程的通解.解:將故
5、所給二階非齊次方程為方程化為設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程21故再積分得通解復(fù)習(xí):一階線性微分方程通解公式22例5(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和.解:(1)(02考研)23所以(2)由(1)的結(jié)果可知所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:∴齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為24代入初始條件可得故所求級(jí)數(shù)的和25
