有限單元法課件.ppt

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1、有限單元法在工程設(shè)計和研究中得到了廣泛應(yīng)用。對于許多實際的彈性力學(xué)問題，由于荷載及邊界條件較為復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答，常采用近似的數(shù)值解法。有限單元法是20世紀(jì)中期隨著電子計算機(jī)的廣泛應(yīng)用而發(fā)展起來的又一種數(shù)值解法。有限單元法的優(yōu)點(diǎn)：（1）可以分析形狀十分復(fù)雜的、非均質(zhì)的各種實際的工程結(jié)構(gòu)；（2）可在計算中模擬各種復(fù)雜材料的本構(gòu)關(guān)系、荷載和條件；（3）可進(jìn)行結(jié)構(gòu)的動力分析；（4）可進(jìn)行大量方案的比較分析，并迅速用圖形表示計算結(jié)果，有利于對工程方案進(jìn)行優(yōu)化。體力面力6.1基本量和基本方程的矩陣表示應(yīng)力應(yīng)變位移1.基本量的矩陣表示幾何方程物理方程

2、2.幾個基本方程的矩陣表示平面應(yīng)變問題虛功方程:在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。用等效結(jié)點(diǎn)力表示的虛功方程虛功虛位移虛應(yīng)變有限單元法是在矩陣位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種結(jié)構(gòu)分析方法，其分析的步驟與矩陣位移法基本相同，過程也相似。有限單元法的分析過程，主要包括：結(jié)構(gòu)的離散化、單元分析和整體分析三個基本步驟。1.離散化：在一個連續(xù)介質(zhì)中，互相連續(xù)的點(diǎn)是無限的，具有無限個自由度，使數(shù)值解法難以進(jìn)行。結(jié)構(gòu)的離散化，就是把連續(xù)介質(zhì)劃分成有限個單元體，并在單元體的指定點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)，把相鄰單元體在結(jié)點(diǎn)處連接起來組成單元的集合體

3、，以代替原來的連續(xù)介質(zhì)，這樣一組單元只在有限個結(jié)點(diǎn)上相互連接，因而只包含有限個自由度，可用矩陣方法進(jìn)行分析。6.2有限單元法的概念124635水壩平面問題中，最簡單而常用的單元是三角形單元，此外也常采用矩形單元和任意四邊形單元。平面問題中，所有簡單一般都為鉸結(jié)，也可作為剛接。三結(jié)點(diǎn)三角形單元：在三角形的三個頂點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)。六結(jié)點(diǎn)三角形單元：在三角形的三個頂點(diǎn)和三邊中點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)。在約束邊界處，可根據(jù)約束情況在該處的結(jié)點(diǎn)上設(shè)置鉸支座或連桿支座。單元結(jié)點(diǎn)力：結(jié)點(diǎn)對單元的作用力。對于三角形單元，結(jié)點(diǎn)力列陣ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,u

4、jFmx,umFmy,vmyxO結(jié)點(diǎn)位移，基本未知量。對于三角形單元，結(jié)點(diǎn)位移列陣ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxO2.單元分析：位移模式：其中N稱為形函數(shù)矩陣。單元應(yīng)變：（應(yīng)用幾何方程）其中B表示e和de之間的關(guān)系矩陣。單元應(yīng)力：（應(yīng)用物理方程）其中S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣。單元結(jié)點(diǎn)力的應(yīng)力表示：（應(yīng)用虛功方程）其中k稱為單元勁度（剛度）矩陣。單元的結(jié)點(diǎn)荷載：（應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置）3.整體分析：i結(jié)點(diǎn)受結(jié)點(diǎn)荷載FLi=(FLixFLiy)T和結(jié)點(diǎn)力Fi=(FixFiy)T,

5、其平衡方程為將代入整理可得其中K稱為整體勁度（剛度）矩陣，F(xiàn)L為整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣，d是整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。K由每個單元的勁度矩陣集合而成，F(xiàn)L由作用于每個單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣集合而成。求出整體結(jié)點(diǎn)位移列陣d，可由和分別求出單元中的位移d和應(yīng)力s。單元結(jié)點(diǎn)編碼按逆時針順序排序單元結(jié)點(diǎn)位移向量6.3單元的位移模式與解答的收斂性1.單元的節(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力ijmFix,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxO單元結(jié)點(diǎn)力向量代入上式,得三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，假定單元內(nèi)位移為坐標(biāo)的線性函數(shù)，即在單元結(jié)點(diǎn)處有2.單元位移模式ijmFix

6、,uiFiy,viFjy,vjFjx,ujFmx,umFmy,vmyxO其中解方程,得其中同理N---形函數(shù)矩陣---形函數(shù)..3.形函數(shù)的性質(zhì)隨著單元的越劃越小,解答趨于精確解.---收斂為了保證收斂,所設(shè)位移應(yīng)滿足如下條件:位移模式應(yīng)包含剛體位移。.應(yīng)保證相鄰單元的位移協(xié)調(diào)。.條件1、2是收斂的必要條件.條件1、2、3是收斂的充分條件.4.解答的收斂性③.位移模式應(yīng)包含常應(yīng)變狀態(tài)。常應(yīng)變?nèi)切螁卧峭陚鋮f(xié)調(diào)單元三角形單元包含剛體位移常量應(yīng)變21單元間的位移是協(xié)調(diào)的由幾何方程得其中單元應(yīng)變矩陣6.4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣1.單元的應(yīng)變其中常數(shù)

7、矩陣單元內(nèi)應(yīng)變e為常數(shù)三結(jié)點(diǎn)三角形單元為常應(yīng)變單元由物理方程其中應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣對于平面應(yīng)力問題2.單元的應(yīng)力對于平面應(yīng)力問題對于平面應(yīng)變問題三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，線性位移模式的誤差量級是Dx或Dy的二階小量，應(yīng)力和應(yīng)變的誤差量級是Dx或Dy的一階小量，應(yīng)力的精度低于位移的精度，在劃分單元和整理成果時應(yīng)該加以注意。提高有限單元法分析精度的方法：（1）減小單元尺寸（2）采用更高次項的位移模式設(shè)單元結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移單元內(nèi)任一點(diǎn)虛位移為虛應(yīng)變?yōu)樘摴Ψ匠?--單元勁度矩陣6.5單元勁度矩陣令---單元勁度方程常應(yīng)變?nèi)切螁卧矫鎽?yīng)力問題單元勁度矩陣的性質(zhì)：（1）

8、單元勁度矩陣只與單元的幾何形狀、大小及材料的性質(zhì)有關(guān)，特別與位移模式有關(guān)；與單元位移無關(guān)。（2）單元勁度矩陣是對稱矩陣。（3）的物理意義