9、u0且d
10、u1的充要條件是d
11、uk+1；（3）存在整數(shù)x0,x1，使uk+1=x0u0+x1u1.5．算術(shù)基本定理：若n>1且n為整數(shù)，則，其中pj(j=1,2,…,k)是質(zhì)數(shù)（或稱素?cái)?shù)），且在不計(jì)次序的意義下，表示是唯一的。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)
12、聯(lián)系管理員刪除精品文檔6．同余：設(shè)m≠0,若m
13、(a-b)，即a-b=km，則稱a與b模同m同余，記為a≡b(modm)，也稱b是a對(duì)模m的剩余。7．完全剩余系：一組數(shù)y1,y2,…,ys滿足：對(duì)任意整數(shù)a有且僅有一個(gè)yj是a對(duì)模m的剩余，即a≡yj(modm)，則y1,y2,…,ys稱為模m的完全剩余系。8．Fermat小定理：若p為素?cái)?shù)，p>a,(a,p)=1，則ap-1≡1(modp)，且對(duì)任意整數(shù)a,有ap≡a(modp).9．若(a,m)=1，則≡1(modm),(m)稱歐拉函數(shù)。10．（歐拉函數(shù)值
14、的計(jì)算公式）若，則(m)=11．（孫子定理）設(shè)m1,m2,…,mk是k個(gè)兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余組：x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解，x≡M1b1+M2b2+…+Mkbk(modM)，其中M=m1m2mk；=，i=1,2,…,k；≡1(modmi),i=1,2,…,k.二、方法與例題1．奇偶分析法。例1?有n個(gè)整數(shù)，它們的和為0，乘積為n，（n>1），求證：4
15、n。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔[證明]?設(shè)這n個(gè)整數(shù)為a1,a2,…,an，則a1
16、,a2,…,an=n，???①a1+a2+…+an=0。??②首先n為偶數(shù)，否則a1,a2,…,an均為奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和應(yīng)為奇數(shù)且不為0，與②矛盾，所以n為偶數(shù)。所以a1,a2,…,an中必有偶數(shù)，如果a1,a2,…,an中僅有一個(gè)偶數(shù)，則a1,a2,…,an中還有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，從而a1+a2+…+an也為奇數(shù)與②矛盾，所以a1,a2,…,an中必有至少2個(gè)偶數(shù)。所以4
17、n.2．不等分析法。例2?試求所有的正整數(shù)n，使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整數(shù)解。解?設(shè)x,y,z為其正整數(shù)解，不妨設(shè)x≤y
18、≤z，則由題設(shè)z2
19、(x3+y3)，所以z2≤x3+y3，但x3≤xz2,y3≤yz2，因而z=nx2y2-≥nx2y2-(x+y)，故x3+y3≥z2≥[nx2y2-(x+y)]2，所以n2x4y4≤2nx2y2(x+y)+x3+y3，所以nxy<。若x≥2，則4≤nxy<≤3，矛盾。所以x=1，所以ny<，此式當(dāng)且僅當(dāng)y≤3時(shí)成立。又z2
20、(x3+y3)，即z2
21、(1+y3)，所以只有y=1,z=1或y=2,z=3，代入原方程得n=1或3。3．無窮遞降法。例3?確定并證明方程a2+b2+c2=a2b2的所
22、有整數(shù)解。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔解?首先(a,b,c)=(0,0,0)是方程的整數(shù)解，下證該方程只有這一組整數(shù)解。假設(shè)(a1,b1,c1)是方程的另一組整數(shù)解，且a1,b1,c1不全為0，不妨設(shè)a1≥0,b1≥0,c1≥0且，由≡1或0(mod4)知a1,b1,c1都是偶數(shù)(否則(mod4))，從而是方程x2+y2+z2=2x2y2的一組整數(shù)解，且不全為0，同理可知也都是偶數(shù)為方程x2+y2+z2=24x2y2的解。這一過程可以無限進(jìn)行下去，另一方面a1,b1,c1為有限的整數(shù)，必存在k
23、∈N,使2k>a1,2k>b1,2k>c1，從而不是整數(shù)，矛盾。所以該方程僅有一組整數(shù)解(0,0,0).4．特殊模法。例4?證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)，它們不能表示成少于10個(gè)奇數(shù)的平方和。[證明]?考慮形如n=72k+66,k∈N的正整數(shù)，若，其中xi為奇數(shù)，i=1,2,…,s且1≤s≤9。因?yàn)閚≡2(mod8)，又≡1(mod8)，所以只有s=2.所以，又因?yàn)椤?或0(mod3)，且3
24、n，所以3
