飽和非線性的描述函數(shù)課件.ppt

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1、§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中Ｇ(s)為線性部分的傳遞函數(shù)，N為非線性元件。(1)設(shè)非線性環(huán)節(jié)N的輸出量只和輸入量有關(guān)，即y=f(x)。設(shè)輸入為：非線性環(huán)節(jié)的輸出為：利用富氏級(jí)數(shù)展開(kāi)，有式中：Y0是輸出信號(hào)中的直流分量；Bk和Ck是輸出信號(hào)中各次諧波分量的幅值，在一般情況下是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)。（1）（2）（3）(2)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸出是對(duì)稱奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項(xiàng)等于零，上式可簡(jiǎn)化成：（4）上式表明，非線性環(huán)節(jié)的輸出量含有高次諧波。(3)設(shè)系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波器特性。于是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，高次諧波可以忽

2、略。這樣式(4)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為式中，或?qū)懗筛鶕?jù)富氏級(jí)數(shù)的系數(shù)項(xiàng)公式，有（6）（8）（7）式(6)可寫(xiě)成矢量形式:輸入正弦函數(shù)也寫(xiě)成矢量形式，有令（9）（10）將上式寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式，有式中（11）（12）式(11)為該非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一次諧波(基波)分量和輸入正弦波的矢量比(寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式)來(lái)描述該非線性的特征，這個(gè)比值稱為該非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。這相當(dāng)于用一個(gè)等效的線性環(huán)節(jié)代替了原來(lái)的非線性環(huán)節(jié)，而等效線性環(huán)節(jié)的幅相特性函數(shù)N(A)，是輸入函數(shù)x(t)＝Asinωt幅值A(chǔ)的函數(shù)，等效的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。由于描述函數(shù)是非

3、線性元件的等效傳遞特性，它是在只考慮基波分量之后得到的結(jié)果，所以這種近似處理方法又稱為“諧波線性化法”。當(dāng)非線性元件用描述函數(shù)表示后，就可以用線性理論中的頻率法來(lái)研究非線性系統(tǒng)的基本特性。二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、飽和非線性的描述函數(shù)飽和非線性如圖所示。飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對(duì)稱函數(shù)，故有，，其描述函數(shù)為可見(jiàn)，飽和非線性的描述函數(shù)虛部為零，只有一個(gè)實(shí)部。基準(zhǔn)描述函數(shù)（）實(shí)際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時(shí)，常用基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)，對(duì)于飽和非線性，它的基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)為，把它畫(huà)在復(fù)平面上，是一條起自(-1，j０)點(diǎn)，隨著的增長(zhǎng)，沿負(fù)實(shí)軸向左

4、延伸的直線,如下圖所示。2、死區(qū)非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時(shí)，死區(qū)非線性及其輸入輸出波形如圖所示。死區(qū)非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對(duì)稱函數(shù)，故有所以其描述函數(shù)為死區(qū)非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為，式中從死區(qū)非線性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線性的描述函數(shù)也只有一個(gè)實(shí)部。在復(fù)平面上，可繪出死區(qū)非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線，如下圖所示。它是一條在實(shí)軸上沿著變化的直線，起自，隨著增長(zhǎng)，以－1為終點(diǎn)。3、回環(huán)（間隙）非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時(shí)，回環(huán)（間隙）非線性具有非單值特性，回環(huán)非線性曲線及其輸入-輸出波形如

5、圖所示。為奇對(duì)稱，但非單值回環(huán)（間隙）非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所以其描述函數(shù)為回環(huán)非線性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如圖所示。繼電器特性及其正弦信號(hào)輸入時(shí)的輸入-輸出波形如圖所示。4、繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可得：令，則上述兩式可改寫(xiě)為由此可得繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為當(dāng)m取不同值時(shí)，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如圖所示。三、典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式兩非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，第二個(gè)非線性環(huán)節(jié)不符合諧波線性化的條件，故不存在描述函數(shù)，求取串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)求取其等效非線性特性的描述

6、函數(shù)。：令即解:由圖可知例2:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以有其中四、非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多非線性系統(tǒng)通過(guò)適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，都可化為由線性部分和非線性部分串聯(lián)而成的系統(tǒng)。假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足描述函數(shù)的條件，則非線性部分可以用描述函數(shù)N(A)表示，線性部分可以用傳遞函數(shù)G(s)或頻率特性G(jω)表示。因N(A)是經(jīng)過(guò)諧波線性化后的等效線性環(huán)節(jié)，可以作為一個(gè)具有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來(lái)處理，于是非線性系統(tǒng)可以看成是一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，并可以應(yīng)用線性理論中的頻率判據(jù)來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特征方程為－非線性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)

7、負(fù)倒數(shù)如圖所示系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為或式中－非線性元件線性部分的放大系數(shù);用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線性部分是最小相位系統(tǒng)，則如果線包圍線，表明系統(tǒng)有正特征根，不穩(wěn)定；如果不包圍線，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果兩線相交，如圖所示，則表明系統(tǒng)可能產(chǎn)生不衰減的簡(jiǎn)諧振蕩，簡(jiǎn)稱自振蕩。式就是用來(lái)確定兩線交點(diǎn)的方程，也稱之為非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件。由于穩(wěn)定參考點(diǎn)P2位于曲線之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂的，它的振幅會(huì)逐漸衰減回到值。又設(shè)擾動(dòng)作用使振幅減小為，亦即穩(wěn)定參考點(diǎn)由P移到P1，而P1點(diǎn)被曲線包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的振幅會(huì)隨時(shí)間增