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1、Matlab求解微分方程(組)及偏微分方程(組)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四講Matlab求解微分方程（組）理論介紹：Matlab求解微分方程（組）命令求解實(shí)例：Matlab求解微分方程（組）實(shí)例實(shí)際應(yīng)用問題通過數(shù)學(xué)建模所歸納得到的方程，絕大多數(shù)都是微分方程，真正能得到代數(shù)方程的機(jī)會(huì)很少.另一方面，能夠求解的微分方程也是十分有限的，特別是高階方程和偏微分方程（組）.這就要求我們必須研究微分方程（組）的解法：解析解法和數(shù)值解法.一．相關(guān)函數(shù)、命令及簡介1.在Matl
2、ab中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)，Dy表示y關(guān)于自變量的一階導(dǎo)數(shù)，D2y表示y關(guān)于自變量的二階導(dǎo)數(shù)，依此類推.函數(shù)dsolve用來解決常微分方程（組）的求解問題，調(diào)用格式為：X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)函數(shù)dsolve用來解符號(hào)常微分方程、方程組，如果沒有初始條件，則求出通解，如果有初始條件，則求出特解.注意，系統(tǒng)缺省的自變量為t2.函數(shù)dsolve求解的是常微分方程的精確解法，也稱為常微分方程的符號(hào)解.但是，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時(shí)，我們需要尋求方程的數(shù)值解，在求常微分方程數(shù)值解方面，MATLAB具有豐富
3、的函數(shù)，我們將其統(tǒng)稱為solver，其一般格式為：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)說明：(1)solver為命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.(2)odefun是顯示微分方程在積分區(qū)間tspan上從到用初始條件求解.(3)如果要獲得微分方程問題在其他指定時(shí)間點(diǎn)上的解，則令tspan(要求是單調(diào)的).(4)因?yàn)闆]有一種算法可以有效的解決所有的ODE問題，為此，Matlab提供了多種求解器solver，對(duì)于不同的ODE問題，采用不同的solver.表1Matlab中文本文件
4、讀寫函數(shù)求解器ODE類型特點(diǎn)說明ode45非剛性單步算法：4、5階Runge-Kutta方程；累計(jì)截?cái)嗾`差大部分場合的首選算法ode23非剛性單步算法：2、3階Runge-Kutta方程；累計(jì)截?cái)嗾`差使用于精度較低的情形ode113非剛性多步法：Adams算法；高低精度可達(dá)計(jì)算時(shí)間比ode45短ode23t適度剛性采用梯形算法適度剛性情形ode15s剛性多步法：Gear’s反向數(shù)值微分；精度中等若ode45失效時(shí)，可嘗試使用ode23s剛性單步法：2階Rosebrock算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比ode15s短ode23tb剛性梯形算法；低精度當(dāng)精度較低時(shí)，計(jì)算時(shí)間比o
5、de15s短說明：ode23、ode45是極其常用的用來求解非剛性的標(biāo)準(zhǔn)形式的一階微分方程（組）的初值問題的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龍格-庫塔2階算法，用3階公式作誤差估計(jì)來調(diào)節(jié)步長，具有低等的精度.ode45則采用龍格-庫塔4階算法，用5階公式作誤差估計(jì)來調(diào)節(jié)步長，具有中等的精度.3．在matlab命令窗口、程序或函數(shù)中創(chuàng)建局部函數(shù)時(shí)，可用內(nèi)聯(lián)函數(shù)inline，inline函數(shù)形式相當(dāng)于編寫M函數(shù)文件，但不需編寫M-文件就可以描述出某種數(shù)學(xué)關(guān)系.調(diào)用inline函數(shù)，只能由一個(gè)matlab表達(dá)式組成，并且只能返回一個(gè)變量，不允許[u,v]這種向量形式.因
6、而，任何要求邏輯運(yùn)算或乘法運(yùn)算以求得最終結(jié)果的場合，都不能應(yīng)用inline函數(shù)，inline函數(shù)的一般形式為：FunctionName=inline(‘函數(shù)內(nèi)容’,‘所有自變量列表’)例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b,a,b是標(biāo)量；x是向量）在命令窗口輸入:Fofx=inline(‘x.^2*cos(a*x)-b’,‘x’,’a’,’b’);g=Fofx([pi/3pi/3.5],4,1)系統(tǒng)輸出為：g=-1.5483-1.7259注意：由于使用內(nèi)聯(lián)對(duì)象函數(shù)inline不需要另外建立m文件，所有使用比較方便，另外在使用ode45函數(shù)的時(shí)候，定義函數(shù)往往需要編輯
7、一個(gè)m文件來單獨(dú)定義，這樣不便于管理文件，這里可以使用inline來定義函數(shù).二．實(shí)例介紹1.幾個(gè)可以直接用Matlab求微分方程精確解的實(shí)例例1求解微分方程程序：symsxy;y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)例2求微分方程在初始條件下的特解并畫出解函數(shù)的圖形.程序：symsxy;y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x’);ezplot(y)例3求解微分方程組在初始條件下的特解并畫出解函數(shù)的圖形.程序
