2、：9/9/20215電子工程學院Simpson公式9/9/20216電子工程學院定義若某個求積公式所對應的誤差R[f]滿足：R[Pk]=0對任意k?n階的多項式成立，且R[Pn+1]?0對某個n+1階多項式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為n。代數(shù)精度：9/9/20217電子工程學院怎樣驗證代數(shù)精度：9/9/20218電子工程學院注：形如的求積公式至少有n次代數(shù)精度?該公式為插值型（即：）?9/9/20219電子工程學院思考：代數(shù)精度是否是越高越好？9/9/202110電子工程學院梯形公式的誤差9/9/202111電子工程學院
3、定理證明9/9/202112電子工程學院辛普森(Simpson)求積公式的誤差：9/9/202113電子工程學院思考：結論是什么？怎么辦？9/9/202114電子工程學院復合求積：高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值?分段低次合成的復合求積公式。?復合梯形公式：在每個上用梯形公式：9/9/202115電子工程學院=Tn/*中值定理*/怎么辦？9/9/202116電子工程學院44444=Sn注：為方便編程，可采用另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時，有?復合Simpson公式：9/9/202117電子工程學院復化求積例：
4、9/9/202118電子工程學院復化求積例：兩種方法誰好？9/9/202119電子工程學院給定精度?，如何取n?通常采取將區(qū)間不斷對分的方法，即取n=2k上例中2k?68?k=7注意到區(qū)間再次對分時可用來判斷迭代是否停止。9/9/202120電子工程學院§4.2高斯型積分構造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點x0…xn以及系數(shù)A0…An都作為待定系數(shù)。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點稱為Gauss點，公式稱為Gauss型求積公式。9/9/202121電子工程
5、學院例：在兩點數(shù)值積分公式中，如果積分點也作為未知量，則有4個未知量,可以列出4個方程：（在[-1,1]為例）可解出：數(shù)值積分公式具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)精度高9/9/202122電子工程學院推廣：加權Gauss積分公式權函數(shù)9/9/202123電子工程學院例：求的2點Gauss公式。解：設，應有3次代數(shù)精度。?+?101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是線性方程組，不易求解。9/9/202124電子工程學院x0…xn為Gauss點?與任意次數(shù)不大于n的多項式P(x)（帶
6、權）正交。定理求Gauss點?求w(x)9/9/202125電子工程學院證明：“?”x0…xn為Gauss點,則公式至少有2n+1次代數(shù)精度。對任意次數(shù)不大于n的多項式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應精確成立：0=0?“?”要證明x0…xn為Gauss點，即要證公式對任意次數(shù)不大于2n+1的多項式Pm(x)精確成立，即證明：設0?9/9/202126電子工程學院?正交多項式族{?0,?1,…,?n,…}有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于n的多項式P(x)必與?n+1正交。若取w(x)為其中的?n+1，則?
7、n+1的根就是Gauss點。9/9/202127電子工程學院再解上例：?+?101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：構造正交多項式?2設cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj??53-=a0)(10=+?dxaxx0),(10=jj??=++-?==++?=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：9/9/202128電子工程學院Step2：求?2=0的2個根，即為Gauss點x0，x1Step3：代入f(x
8、)=1,x以求解A0，A1解線性方程組，簡單。結果與前一方法相同：?利用此公式計算的值9/9/202129電子工程學院Matlab積分函數(shù)函數(shù)名功能quad采用Simpson計算積分。精度高，較常用quad8采用8樣條Newton-Cotes公式計算積分。精度高，最常用trapz采用梯形法
