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《重積分及其計(jì)算和多重積分.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、三重積分與多重積分方法在第三節(jié)中我們討論了二重積分,本節(jié)將之推廣到一般得ｎ維空間中去、類似于第三節(jié)，我們先定義一個(gè)Ｒ3中集合得可求體積性、同樣可以給出一列類似得結(jié)論、讀者自己推廣、這里將不再贅述、一、引例設(shè)一個(gè)物體在空間R3中占領(lǐng)了一個(gè)有界可求體積得區(qū)域,它得點(diǎn)密度為,現(xiàn)在要求這個(gè)物體得質(zhì)量．假設(shè)密度函數(shù)就是有界得連續(xù)函數(shù)，可以將區(qū)域分割為若干個(gè)可求體積得小區(qū)域,其體積分別就是,直徑分別就是,即,(i＝1，2，?,ｎ),
2、WＱ
3、表示W(wǎng),Q兩點(diǎn)得距離。設(shè)，則當(dāng)很小時(shí),在上得變化也很?。梢杂眠@個(gè)小區(qū)域上得任意一點(diǎn)得密
4、度來近似整個(gè)小區(qū)域上得密度,這樣我們可以求得這個(gè)小得立體得質(zhì)量近似為,所有這樣得小得立體得質(zhì)量之與即為這個(gè)物體得質(zhì)量得一個(gè)近似值.即．當(dāng)時(shí),這個(gè)與式得極限存在,就就是物體得質(zhì)量.即.從上面得討論可以瞧出，整個(gè)求質(zhì)量得過程與求曲頂柱體得體積就是類似得,都就是先分割,再求與,最后取極限.所以我們也可以得到下面一類積分。二、三重積分得定義設(shè)就是空間中得一個(gè)有界可求體積得閉區(qū)域V上得有界函數(shù),將V任意分割為若干個(gè)可求體積得小閉區(qū)域,這個(gè)分割也稱為V得分劃,記為P：、(空，），其體積分別就是,直徑分別就是．設(shè),或記為
5、
6、Ｐ
7、
8、
9、、在每個(gè)小區(qū)域中任意取一點(diǎn)，作與（稱為Ｒiemann與）,若當(dāng)時(shí)，這個(gè)與式得極限存在，則稱其極限為函數(shù)在區(qū)域上得三重積分,記為。并稱函數(shù)在區(qū)域上可積.稱為被積函數(shù),x,y，z稱為積分變量、,Ｖ稱為積分區(qū)域、特別地,在直角坐標(biāo)系下,可以記為.我們同樣可以引入Ｄaｒｂｏux大,小與來判別可積,也有同樣得結(jié)論（略)、1、若就是有界閉區(qū)域上得連續(xù)函數(shù),則函數(shù)在區(qū)域上可積。２、若=1時(shí),得體積、３、若在有界閉區(qū)域上得間斷點(diǎn)集合就是0體積時(shí),在可積、三重積分有著與二重積分類似得性質(zhì).下面簡(jiǎn)單敘述一下.１．可積函數(shù)得與(或差）
10、及積仍可積、與（差）得積分等于積分得與（差)。２．可積函數(shù)得函數(shù)倍仍可積、其積分等于該函數(shù)積分得倍。３．設(shè)就是可求體積得有界閉區(qū)域，在上可積,分為兩個(gè)無共同內(nèi)點(diǎn)得可求體積得閉區(qū)域之并,則在上可積,并有。等等、三、三重積分得計(jì)算方法同二重積分一樣，我們這里給出三重積分得計(jì)算方法，理論上得證明讀者自己完成、、1.利用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分先給一個(gè)結(jié)論、定理12、1４若函數(shù)就是長(zhǎng)方體V=［ａ，b]×［c,ｄ]×［e,h]上得可積,記Ｄ＝［c，d］×[ｅ,ｈ]，對(duì)任意x∈[a,b]，二重積分存在,則(記為)bbdh也存在，
11、且fx,y,zdVdxfx,y,zdydzdxdyfx,y,zdz、VaDace這時(shí)右邊稱為三次積分或累次積分,即三重積分化為三次積分、證明分別中［a,b],[ｃ,d]，，[eh］插入若干個(gè)分點(diǎn);;作平面，,，(i=0，1,2，?，n；，ｊｉ＝０,1，2,?,m;ｋ=0,1,2,?,ｓ，）得到V得一個(gè)分劃Ｐ、令(i=1,2,?，ｎ；，jｉ=１，2，?,m;k=1,2,?，s,),,分別就是在上得上，下確界、那么在上有其中xiiｉ—１jj-yj-1，kkk-１,(i=１,2,?，n;,ji＝1,2，?,m；,=x-x
12、,y,=yｚ,=ｚ-zｋ＝１,2,?,s，)、因可積,所以當(dāng)
13、
14、P
15、
16、趨于０時(shí),Dａrbｏux大,小與趨于同一數(shù),即三重積分、故定理得證、z如果V如右圖,he≤z≤h,ｚ＝z與V得截Dz面面積為Ｄｚ,zey圖12-4-1不難得到,x若函數(shù)在V上得可積,那么、下面給出一般三重積分得具體計(jì)算方法,理論證明讀者可參照二重積分自己完成．設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù),我們先討論一種比較特殊得情況.,其中為在平面上得投影,且.如圖1２。圖12-4-2我們現(xiàn)在軸上做積分，暫時(shí)將瞧成就是常數(shù)。把函數(shù)瞧作就是得函數(shù),將它在區(qū)間上積分得到
17、。顯然這個(gè)結(jié)果就是得函數(shù),再把這個(gè)結(jié)果在平面區(qū)域上做二重積分。在利用二重積分得計(jì)算公式便可以得到所要得結(jié)果。若平面區(qū)域可以用不等式表示,則。這個(gè)公式也將三重積分化為了三次積分．如果積分區(qū)域就是其她得情形，可以用類似得方法計(jì)算。例1計(jì)算三重積分,其中就是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面所圍得立體區(qū)域.解積分區(qū)域如圖所示，可以用不等式表示為,所以積分可以化為四、三重積分得積分變換與二重積分得積分變換一樣，有如下得結(jié)果:定理１2、15設(shè)V就是ｕvw空間R3中得有界可求體積得閉區(qū)域,Ｔ:x=x（u,ｖ，w),y=ｙ(ｕ,ｖ,w),ｚ=z
18、(ｕ,ｖ，w)，就是V到ｘyz空間R3中得一一映射,它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且圖12-4-3(稱為Jacｏbi)、如果f（ｘ，y,z)就是T（V）上得可積函數(shù),那么f(x,y,z)dxdydzf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))(x,y,z)dudvdwT(V)V(u,v,w)在R3中有兩種重要得變換柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)、1、利用柱面坐標(biāo)
