插值法(拉格朗日插值).ppt

插值法(拉格朗日插值).ppt

ID:58037755

大小:516.00 KB

頁數(shù):17頁

時間:2020-09-04

插值法(拉格朗日插值).ppt_第1頁
插值法(拉格朗日插值).ppt_第2頁
插值法(拉格朗日插值).ppt_第3頁
插值法(拉格朗日插值).ppt_第4頁
插值法(拉格朗日插值).ppt_第5頁
資源描述:

《插值法(拉格朗日插值).ppt》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫

1、問題的提出拉格朗日插值牛頓插值埃爾米特插值曲線擬合的最小二乘法第三章插值法/*Interpolation*/§1問題的提出函數(shù)y=f(x)1)解析式未知;2)雖有解析式但表達式較復(fù)雜,通過實驗計算得到的一組數(shù)據(jù),即在某個區(qū)間[a,b]上給出一系列點的函數(shù)值yi=f(xi),xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3)列表函數(shù)問題:無法求出不在表中的點的函數(shù)值,也不能進一步研究函數(shù)的其他性質(zhì),如函數(shù)的積分和導(dǎo)數(shù)等。因此需尋找y=f(x)的近似函數(shù)p(x),但要求p(xi)=f(xi)?!逯祮栴}已知精確函數(shù)y=f(x)在一系列節(jié)點x0…xn處測得函數(shù)

2、值y0=f(x0),…yn=f(xn),由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)p(x)?f(x),滿足條件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的p(x)稱為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是…?多項式x0x1x2x3x4xp(x)?f(x)§1.1Taylor插值函數(shù)y=f(x)在點x0處展開有Taylor多項式:可見:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在點x0鄰近會很好的逼近f(x).Taylor展開方法就是一種插值方法.泰勒插值要求提供f(x)在點x0處的各階導(dǎo)數(shù),這僅僅適用于f(x)相當簡單的情況.設(shè)函數(shù)y=f(x)在

3、區(qū)間[a,b]上有定義,且給出一系列點上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),求作n次多項式pn(x)使得pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)函數(shù)pn(x)為f(x)的插值函數(shù);稱x0,x1,…xn稱為插值節(jié)點或簡稱節(jié)點。插值節(jié)點所界的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。pn(xi)=yi稱為插值條件。構(gòu)造的n次多項式可表示為:Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn§1.2Lagrange插值定理(插值多項式的存在唯一性)滿足的n階插值多項式是唯一存在的。證明:(利用Vandermonde行列式論證)這是一個關(guān)于a0,a1,…an的n+1元

4、線性方程組,其系數(shù)行列式:由于i≠j時,xi≠xj,因此,即方程組有唯一解.§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n次多項式使得條件:無重合節(jié)點,即n=1已知x0,x1;y0,y1,求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0,y0)和(x1,y1)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)?==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)直線方程的兩點式:線性插值l0(x)l1(x)?==10)(iiiyxlL1(x)拋物插值l0(x)l1

5、(x)l2(x)n?1li(x)每個li有n個根x0…xi…xn?=-=---=njj?ijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(?-==j?ijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多項式與有關(guān),而與無關(guān)節(jié)點f希望找到li(x),i=0,…,n使得li(xj)=;然后令?==niiinyxlxP0)()(,則顯然有Pn(xi)=yi。n次多項式?插值余項/*Remainder*/設(shè)節(jié)點在[a,b]內(nèi)存在,考察截斷誤差,且f滿足條件,用簡單的插值函數(shù)Ln(x)代替原復(fù)雜函數(shù)f(x),其精度取決于截斷誤差,即插值余項.——拉格

6、朗日余項定理注:?通常不能確定?,而是估計,?x?(a,b)將作為誤差估計上限。?當f(x)為任一個次數(shù)?n的多項式時,,可知,即插值多項式對于次數(shù)?n的多項式是精確的。例:已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50?并估計誤差。解:n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計算?利用這里而?sin50?=0.7660444…)185(50sin10??pL0.77614外推/*extrapolation*/的實際誤差??0.01001?利用sin50??0.76008,內(nèi)插/*interpolation*/的實際誤差?0.00596內(nèi)插通常優(yōu)

7、于外推。選擇要計算的x所在的區(qū)間的端點,插值效果較好。n=2)185(50sin20??pL0.76543?sin50?=0.7660444…2次插值的實際誤差?0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對不是次數(shù)越高就越好,嘿嘿……拉格朗日插值多項式編程容易,只需雙重循環(huán)如果發(fā)現(xiàn)當前的插值方法不夠精確,就要增加插值點的個數(shù),則拉格朗日插值基函數(shù)li(x)都將重新計算。牛頓插值法將討論該問題。例:已知數(shù)據(jù)表xk10111213f(xk)2.30262.39792.48492.5649試用二次插值計算f(11.75)(計算過程保留4位小數(shù)).解:因為11.75更接近

8、12,故應(yīng)

當前文檔最多預(yù)覽五頁,下載文檔查看全文

此文檔下載收益歸作者所有

當前文檔最多預(yù)覽五頁,下載文檔查看全文
溫馨提示:
1. 部分包含數(shù)學(xué)公式或PPT動畫的文件,查看預(yù)覽時可能會顯示錯亂或異常,文件下載后無此問題,請放心下載。
2. 本文檔由用戶上傳,版權(quán)歸屬用戶,天天文庫負責整理代發(fā)布。如果您對本文檔版權(quán)有爭議請及時聯(lián)系客服。
3. 下載前請仔細閱讀文檔內(nèi)容,確認文檔內(nèi)容符合您的需求后進行下載,若出現(xiàn)內(nèi)容與標題不符可向本站投訴處理。
4. 下載文檔時可能由于網(wǎng)絡(luò)波動等原因無法下載或下載錯誤,付費完成后未能成功下載的用戶請聯(lián)系客服處理。