空間圖形演繹證明的基本方法.ppt

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1、第四節(jié)空間圖形及演繹證明的基本方法二、空間圖形演繹證明的基本方法與技巧一、空間圖形的位置關(guān)系與度量關(guān)系一、空間圖形的位置關(guān)系與度量關(guān)系1、位置關(guān)系◆立體幾何的公理體系中學(xué)數(shù)學(xué)教育在集合概念的基礎(chǔ)上，采用公理化方法給出平面的基本性質(zhì)，進(jìn)而以平面為依托，結(jié)合公共點的個數(shù)定義了直線、平面之間的相互位置關(guān)系。立體幾何課程的基礎(chǔ)就是對點、線、面的各種位置關(guān)系進(jìn)行討論與研究，得出空間圖形的基本性質(zhì)。(P148~149：公理與推論)◆空間基本元素位置關(guān)系的定義、判斷、性質(zhì)P1492、度量關(guān)系◆距離的概念必須具備三條性質(zhì)：10.非負(fù)性30.三角

2、不等式20.對稱性◆空間各種度量關(guān)系的共同點：10.存在性20.唯一性◆兩圖形間距離的概念：P150集合+度量=空間◆求空間兩基本元素間距離的途徑：(3)利用經(jīng)典定義轉(zhuǎn)化為求某線段長度的最小值(2)用面積法、體積法等間接手段;(1)由定義直接作出垂線段,求出其長;(利用函數(shù)求最值的代數(shù)方法)∴所求距離為2d=.例1(2012年全國高考題)設(shè)點P在曲線y=ex/2上,點Q在曲線y=ln(2x)上,則∣PQ∣的最小值為（）(A)(B)(C)(D)解法1(切線法)兩曲線互為反函數(shù)圖形,關(guān)于y=x對稱，就是y=ex/2上點到y(tǒng)=x距離的

3、2倍.設(shè)曲線上P(x0,y0)處的切線與y=x平行,則得P(ln2,1).P到y(tǒng)=x距離為.選(B)所求最小值∴所求距離為2d=.易見在(0,ln2]上單調(diào)減,解法2(動點法)兩曲線互為反函數(shù)圖形,關(guān)于y=x對稱，就是y=ex/2上點到y(tǒng)=x距離的2倍.設(shè)曲線y=ex/2上任意一點為P(x,ex/2),則P到y(tǒng)=x距離選(B)所求最小值,令則令得x=ln2,在[ln2,+∞)單調(diào)增，又∴例2正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a,求異面直線A1B與B1D1的距離.解法1(公垂線法)ABCDA1B1C1D1解法2(線面平行法)解

4、法3(體積法)解法4(函數(shù)最值法)二、空間圖形演繹證明的基本方法與技巧1、基本方法打好基礎(chǔ)應(yīng)從以下幾個方面注意：(1)畫好恰當(dāng)?shù)闹庇^圖形注意畫圖規(guī)則,突出主要部分.有立體感,(2)熟悉、熟練運用有關(guān)定義和定理（期中考試要求立體幾何解答必須在本章知識范圍內(nèi)進(jìn)行）(2)設(shè)M為DE的中點,求FM與平面所成角的余弦值.平面BCD,F為的中點.例3(2010年浙江高考(文))在ABCD中,AB=2BC,∠ABC=1200,E為AB的中點,將△ADE沿DE翻折成使平面(1)求證：BF∥平面分析取中點G,(1)由線面平行判定定理,設(shè)法證明BF

5、∥EG;(2)由線面所成角的定義,需作出相應(yīng)的角,再進(jìn)入計算.這需要對平行四邊形及面面垂直條件進(jìn)行研究,挖掘隱含條件：CE⊥面啟發(fā)A′ABCDMFEN作輔助線FN(N為的中點)A′ABCDMFEA′ABCDGMFE請同學(xué)給出解答過程標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)證明連GE、GF,取中點G,由條件易知,GF∥CD,GF=CD/2,BE∥CD,BE=CD/2,∴GF∥BE,GF=BE,∴四邊形BEGF為,∴BF∥EG.∵EG平面平面∴BF∥平面.A′ABCDMFENA′ABCDGMFE(2)解連CE,設(shè)BC=a,則AB=CD=2a,AE=AD=B

6、E=a.∵在△BCE中,可得在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,∵CE2+DE2=CD2，∴CE⊥DE.而與DE交于點M,A′ABCDMFEN(2)解連CE,設(shè)BC=a,則AB=CD=2a,AE=AD=BE=a.∵在△BCE中,可得在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,∵CE2+DE2=CD2，∴CE⊥DE.在正中,M為DE的中點,∴∴∠FMN平面BCD,由平面得平面BCD,∴取中點N,連NM、NF,NF∥CE.∴則平面∴為FM與平面所成的角.在中,評注：立體幾何題解答應(yīng)有規(guī)范的求解過程.說明：本題也可以建立直角坐標(biāo)系

7、,用向量方法求解,把幾何推理為主線轉(zhuǎn)化為以代數(shù)計算為主,這部分內(nèi)容將在第7章再討論.例在正方體ABCD-A1B1C1D1中,過頂點A作平面與12條棱所在直線所成的角皆相等,則滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個分析ABCDA1B1C1D112條棱分為3組,每組中各棱平行,故不妨取從同一頂點出發(fā)的三條棱為代表進(jìn)行研究.(3)熟悉基本圖形面AB1C、面AB1D1、面ACD1易見,面A1BD平移到過點A的位置得到的平面滿故選(D)足條件,也滿足條件.例(2009年北京市數(shù)學(xué)解題能力展示(五年級))如圖,長方

8、形ABCD中被嵌入了6個相同的正方形,已知AB=22厘米,BC=20厘米,那么每一個正方形的面積為平分厘米.解(分割法)畫出弦圖如下圖,把每個大正方形四邊形BCFE為正方形,由對稱性,長直角邊長為于是弦圖中直角三角形較短直角邊長為22-20=2,弦圖ACBD分割