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1、第五章有限元法內容：基于變分原理，介紹有限元法。以線性靜態(tài)場中一階有限元的應用為重點，引伸到非線性場、時諧場中的分析，以及等參數有限元法的應用。1特點能處理復雜區(qū)域和復雜邊界條件的求解問題。是求解微分方程的系統(tǒng)化數值計算方法。比傳統(tǒng)解法具有理論完整可靠.物理意義直觀明確.解題效能強。2歷史歷史1943年Courant提出有限元思想。20世紀50年代初期，有限元法在復雜的航空結構分析中最先得到應用，1960年Clough(克拉夫)在其著作中首先提出有限元法（finiteelementmethod，簡稱FEM）這個名稱。3應用以變分原理為基礎的有限元法，因其理論依據的普遍性，廣泛地被
2、應用于各種工程領域：熱傳導、滲流、流體力學、空氣動力學、土壤力學、機械零件強度分析、電磁場工程問題等。4電氣工程領域的應用1965年Winslow首先將有限元法應用于電氣工程問題，1969年Silvester將有限元法推廣應用于時諧電磁場問題。至今有限元法已經成為各類電磁場、電磁波工程問題定量分析與優(yōu)化設計的主導數值計算方法，是構成各種先進、實用計算軟件包的基礎。55.1概述基本思想：傳統(tǒng)的有限元法以變分原理為基礎。首先把所要求解的微分方程數學模型——邊值問題，轉化為相應的變分問題，即泛函求極值問題；然后利用剖分插值，離散化變分問題為普通多元函數的極值問題，即最終歸結為一組多元的
3、代數方程組；解之即得待求邊值問題的數值解。6有限元法的核心在于：剖分插值。將連續(xù)場分割為有限個單元，然用比較簡單的插值函數來表示每個單元的解，但是，它并不要求每個單元的試探解都滿足邊界條件，而是在全部單元總體合成后再引入邊界條件。這樣，就有可能對于內部和邊界上的單元采用同樣的插值函數，使方法構造極大地得到簡化。7此外，由于變分原理的應用，使第二、三類及不同媒質分界面上的邊界條件作為自然邊界條件在總體合成時將隱含地得到滿足。即自然邊界條件將被包含在泛函達到極值的要求之中，不必單獨列出，惟一需考慮的僅是強制邊界條件（第一類邊界條件）的處理，進一步簡化了方法的構造。8有限元法的主要特點
4、是：（1）離散化過程保持了明顯的物理意義。因為變分原理描述了支配物理現象的物理學中的最小作用原理（如力學中的最小勢能原理、靜電學中的湯姆遜定理等）。故基于問題固有的物理特性而予以離散化處理，列出計算公式，應當可保證方法的正確性、數值解的存在與穩(wěn)定性等前提要素。9（2）優(yōu)異的解題能力。與其它數值計算方法相比較，有限元法在適應場域邊界幾何形狀以及媒質物理性質變異情況復雜的問題求解上，有突出的優(yōu)點。即方法應用不受上述二個方面復雜程度的限制。不同媒質分界面上的邊界條件是自動滿足的；二、三類邊界條件不必作單獨的處理。此外，離散點配置比較隨意，并且取決于有限單元剖分密度和單元插值函數的選取，
5、可以充分保證所需的數值計算精度。10(3)可方便地編寫通用計算程序，使之構成模塊化的子程序集合，適應計算功能延拓的需要，從而即可構成各種高效能的計算軟件包。(4)從數學理論意義上講，有限元法作為應用數學的一個重要分支，很小有其它方法應用得這樣廣泛。它使微分方程的解法與理論面目一新，推動了泛函分析與計算方法的發(fā)展。11有限元法的內涵也在不斷延拓：自從1969年以來，在流體力學領域中，通過運用加權余量法導出的伽遼金法或最小二乘法同樣得到了有限元方程。為提高數值解的計算精度，在高階有限元法的應用范疇中，除了常用的基于拉格朗日多項式構造基函數的等參數有限元法外，還延拓構成了以B樣條函數基
6、為基函數的B樣條有限元法。B樣條有限元法的提出，不僅保證了以位函數為待求量的數值解的高精度，而且保證了與物理場特性相一致的場量數值解的連續(xù)性。12把有限元法與其它數值方法相結合而構成的組合法，經常是解決特定問題的有效途徑。例如，鑒于三維靜態(tài)磁場分析的需要，由有限元法與數值積分法相組合而成的單標量磁位法，校正了三十余年來簡化標量法有誤的構造模式。數學理論的發(fā)展也為有限元法注入了新的活力，1970年，以A.M.Arthurs為代表提出了互補變分原理，形成了泛函的所謂雙邊值問題，產生了互補、對偶有限元法。這樣，通過泛函極大與極小值問題的近似數值解，簡單地求其算術平均值，即可獲得充分逼近
7、真實解的理想計算結果。135.2變分原理從介紹有關泛函、變分問題和變分法等數學概念著手，闡述有限元法的變分原理，為有限元法基本原理的討論提供必要的數學基礎。以加權余量法為基礎導出的伽遼金有限元法則將在矩量法中展述。145.2.1泛函與變分問題數學上，通常變量與變量間的關系稱為函數，而泛函則是函數集合的函數，也就是函數的函數。例如，靜電場的勢函數f(r)是定義在坐標空間的函數集，系統(tǒng)電場總能量U(?(r))則是定義在該函數集中的一個泛函，可記I(?(r))。15與多元函數的極值問題
