羅爾中值定理精品文檔課件.ppt

《羅爾中值定理精品文檔課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、一、羅爾中值定理引理(費馬):設(shè)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義.在x0?(a,b)處取得最大值(最小值),且f(x)在x0處可導(dǎo),則f'(x0)=0.證:因f(x)在x0處可導(dǎo).§4－5微分中值定理設(shè)f(x0)為f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最大值,即,?x?(a,b),有f(x)?f(x0).故當(dāng)

2、?x

3、充分小時,有x0+?x?(a,b),從而f(x0+?x)–f(x0)?0因x0?(a,b),(1)當(dāng)?x>0時,由保號性定理,令?x?0+,(2)當(dāng)?x<0時,由保號性定理,令?x?0–,綜合(1),(2)有0?f'(x0)?0,故f'(x0)

4、=0,類似可證f(x)在x0取最小值的情形.注1.因f'(x0)表示曲線y=f(x)上點M(x0,f(x0))處切線斜率.而f'(x0)=0表示該點處切線斜率為0.因此,引理在幾何上表示:若y=f(x)在(a,b)內(nèi)部某點x0處取最大(小)值,且在x0可導(dǎo),則在M(x0,f(x0))處的切線平行于x軸.如圖bMax0yx0Mx0y=f(x)注2.若f(x)在區(qū)間[a,b]的端點a(或b)處取得最大(小)值.不能保證f'(a)(或f'(b))=0.即,在端點M(a,f(a))或M(b,f(b))處切線不一定平行于x軸.如圖.0abxyy=f(x)定理1.(

5、羅爾中值定理).若y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b).則在(a,b)內(nèi)至少存在一點?,使得f??????.證:因f(x)在[a,b]上連續(xù),從而可取得最大值M=f(x0)和最小值m=f(x1).其中,x0,x1?[a,b](1)若m=M,因m?f(x)?M.即,M?f(x)?M,所以f(x)=M.有f'?x???,故???(a,b)有f'?????.(2)若m

6、設(shè)M=f?x0??f(a)=f(b),故x0?a,x0?b,從而x0?(a,b).bMax0yx0Mx0y=f(x)注1.幾何意義:如圖AB若連續(xù)曲線y=f(x)除端點外處處有不垂直于x軸的切線.且兩端點的縱坐標(biāo)相等.則在曲線上至少存在一點M.在M點的切線平行于x軸.也就是平行于弦AB.注2.從方程的角度看,f'?????表示?是方程f'?x???的根.因此,羅爾定理的意義是若f?x?滿足定理條件,則方程f'?x???在(a,b)內(nèi)至少有一個根.注3.定理的條件"f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(a)=f(b)"不能減弱.否則,結(jié)論不對

7、.比如,f(x)=

8、x

9、在[–1,1]上連續(xù).在除x=0外的每一點x處都可導(dǎo).且f(–1)=f(1),但是,不存在??(–1,1),使得f'(?)=0.如圖0xy1?1y=

10、x

11、例1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x?1)(x?2)(x?3),試判斷方程f'?x???有幾個實根,分別在何區(qū)間?解:因為f(1)=f(2)=f(3),且f(x)在[1,2]上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理,??1?(1,2),使f?(?1???;同理,??2???,??,使f'(?2???;又因f'(x???是二次方程,至多兩個實根,故f'(x???有兩個實根,分別位于(1,2)和

12、(2,3)內(nèi).(1)修改:f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),結(jié)論如何?(2)修改:不解方程,問(x?2)(x?3)+(x?1)(x?3)+(x?1)(x?2)=0有幾個實根,分別在何區(qū)間?二、拉格朗日中值定理在羅爾定理中,曲線上存在一點M,使得M點處切線平行于x軸.由于f(a)=f(b).從而該切線平行于弦AB.如果f(a)?f(b),那么在曲線上是否仍然存在一點M,使得M點處切線平行于弦AB呢?定理2.若y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點??(a,b),使得如圖:分析:注意到因此,拉格朗日定理回答了上述

13、問題.xyAa0BMby=f(x)?只須證即若將括號內(nèi)函數(shù)看作?(x).則只須證?'(?)=0即可.這就是羅爾定理的結(jié)論.因此,只須證明?(x)滿足羅爾定理條件即可.證:構(gòu)造函數(shù),令易見,?(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).且即?(a)=?(b).由羅爾定理,???(a,b),使?'?????注1.若f(a)=f(b),這正是羅爾定理的結(jié)論.公式可改寫為f(b)–f(a)=f'???(b–a).??(a,b),也可寫為f(a)–f(b)=f'???(a–b),??(a,b),因此,以后使用這一公式時,不須考慮是a>b,還是a

14、b之間.注2.若y=f(x)在[a,b]上滿足拉格朗日定理條件.?x?(a,b)