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1、向量1-范數(shù)：向量2-范數(shù)：向量無窮范數(shù)：復習設向量x＝(x1，x2，…，xn)T，定義設n階矩陣A＝（aij），常用的矩陣范數(shù)有：矩陣1-范數(shù)：矩陣2-范數(shù)：矩陣無窮范數(shù):列和行和A的Frobenius范數(shù):矩陣的譜半徑設λ是矩陣A相應于特征向量x的特征值，即Ax＝λx向量-矩陣范數(shù)的相容性，得到
2、λ
3、
4、
5、x
6、
7、=
8、
9、λx
10、
11、從而，對A的任何特征值λ均成立=
12、
13、Ax
14、
15、≤
16、
17、A
18、
19、
20、
21、x
22、
23、
24、λ
25、≤
26、
27、A
28、
29、（3）設n階矩陣A的n個特征值為λ1,λ2，…λn，稱為矩陣A的譜半徑。譜半徑定理對任意，有迭代法的一般形式已知線性代數(shù)方程組首先將方程組
30、改寫成等價的形式從而建立迭代式：稱為迭代序列，并稱H為迭代矩陣。3.7迭代法及其收斂性3.7.2迭代法的收斂性利用迭代公式構(gòu)造序列,以求得方程組的近似解的算法稱為解式的簡單迭代法。若迭代序列收斂，則稱此迭代法是收斂的。兩式相減，知誤差向量滿足下列迭代關系：由此遞推：向量序列的收斂!!!矩陣序列的收斂???定理2：迭代法對任何初始近似均收斂的充分必要條件是定理3：的充要條件是定理4：迭代法對任何初始近似均收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑推論：若(允許為任何一種相容的矩陣范數(shù))，則迭代法收斂。例1設其中，討論該迭代法的收斂性。例2設其中，討論該
31、迭代法的收斂性。3.7.3迭代法的收斂速度定理5當時，由迭代法（2.2.3）式所定義的序列滿足如下估計式：現(xiàn)在討論使誤差減少初始誤差的倍所需的最少迭代次數(shù)。若要求則兩邊取對數(shù)得:定義:為迭代法(2.2.3)的漸進收斂速度。線性方程組的直接解法1逐步逼近1.1Jacobi迭代法1.2Gauss-Seidel迭代法1.3超松弛(SOR)迭代法2下降法2.1最速下降法2.2共軛梯度法由向量范數(shù)
32、
33、x
34、
35、v派生出的矩陣范數(shù)：相容范數(shù)：滿足不等式關系稱之為矩陣A的算子范數(shù)，其中p＝1，2或∞。定義5.矩陣的算子范數(shù)定理2.2由上式所定義的矩陣范數(shù)為相容范數(shù)
36、。證明：當x=0時，(1)式顯然成立。矩陣的譜半徑矩陣范數(shù)同矩陣特征值之間有密切的聯(lián)系，設λ是矩陣A相應于特征向量x的特征值，即Ax＝λx,于是利用向量-矩陣范數(shù)的相容性，得到
37、λ
38、
39、
40、x
41、
42、=
43、
44、λx
45、
46、從而，對A的任何特征值λ均成立=
47、
48、Ax
49、
50、≤
51、
52、A
53、
54、
55、
56、x
57、
58、
59、λ
60、≤
61、
62、A
63、
64、（3）設n階矩陣A的n個特征值為λ1,λ2，…λn，稱為矩陣A的譜半徑。3.7迭代法及其收斂性3.7.1迭代法的一般形式已知線性代數(shù)方程組首先將方程組改寫成等價的形式從而建立迭代式：稱為迭代序列，并稱H為迭代矩陣。3.7.2迭代法的收斂性利用迭代公式構(gòu)造序列,以
65、求得方程組的近似解的算法稱為解式的簡單迭代法。若迭代序列收斂，則稱此迭代法是收斂的。兩式相減，知誤差向量滿足下列迭代關系：由此遞推：定理2：迭代法(2.2.3)式對任何初始近似均收斂的充分必要條件是定理3：的充要條件是定理4：迭代法(2.2.3)式對任何初始近似均收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑推論：若(允許為任何一種相容的矩陣范數(shù))，則迭代法(2.2.3)式收斂。例1設其中，討論該迭代法的收斂性。例2設其中，討論該迭代法的收斂性。3.7.3迭代法的收斂速度定理2.5當時，由迭代法（2.2.3）式所定義的序列滿足如下估計式：現(xiàn)在討論使誤差減
66、少初始誤差的倍所需的最少迭代次數(shù)。若要求則兩邊取對數(shù)得:定義:為迭代法漸進收斂速度。
