收斂與收斂階ppt課件.ppt

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1、向量1-范數(shù)：向量2-范數(shù)：向量無(wú)窮范數(shù)：復(fù)習(xí)設(shè)向量x＝(x1，x2，…，xn)T，定義設(shè)n階矩陣A＝（aij），常用的矩陣范數(shù)有：矩陣1-范數(shù)：矩陣2-范數(shù)：矩陣無(wú)窮范數(shù):列和行和A的Frobenius范數(shù):矩陣的譜半徑設(shè)λ是矩陣A相應(yīng)于特征向量x的特征值，即Ax＝λx向量-矩陣范數(shù)的相容性，得到

2、λ

3、

4、

5、x

6、

7、=

8、

9、λx

10、

11、從而，對(duì)A的任何特征值λ均成立=

12、

13、Ax

14、

15、≤

16、

17、A

18、

19、

20、

21、x

22、

23、

24、λ

25、≤

26、

27、A

28、

29、（3）設(shè)n階矩陣A的n個(gè)特征值為λ1,λ2，…λn，稱為矩陣A的譜半徑。譜半徑定理對(duì)任意，有迭代法的一般形式已知線性代數(shù)方程組首先將方程組

30、改寫(xiě)成等價(jià)的形式從而建立迭代式：稱為迭代序列，并稱H為迭代矩陣。3.7迭代法及其收斂性3.7.2迭代法的收斂性利用迭代公式構(gòu)造序列,以求得方程組的近似解的算法稱為解式的簡(jiǎn)單迭代法。若迭代序列收斂，則稱此迭代法是收斂的。兩式相減，知誤差向量滿足下列迭代關(guān)系：由此遞推：向量序列的收斂!!!矩陣序列的收斂???定理2：迭代法對(duì)任何初始近似均收斂的充分必要條件是定理3：的充要條件是定理4：迭代法對(duì)任何初始近似均收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑推論：若(允許為任何一種相容的矩陣范數(shù))，則迭代法收斂。例1設(shè)其中，討論該迭代法的收斂性。例2設(shè)其中，討論該

31、迭代法的收斂性。3.7.3迭代法的收斂速度定理5當(dāng)時(shí)，由迭代法（2.2.3）式所定義的序列滿足如下估計(jì)式：現(xiàn)在討論使誤差減少初始誤差的倍所需的最少迭代次數(shù)。若要求則兩邊取對(duì)數(shù)得:定義:為迭代法(2.2.3)的漸進(jìn)收斂速度。線性方程組的直接解法1逐步逼近1.1Jacobi迭代法1.2Gauss-Seidel迭代法1.3超松弛(SOR)迭代法2下降法2.1最速下降法2.2共軛梯度法由向量范數(shù)

32、

33、x

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35、v派生出的矩陣范數(shù)：相容范數(shù)：滿足不等式關(guān)系稱之為矩陣A的算子范數(shù)，其中p＝1，2或∞。定義5.矩陣的算子范數(shù)定理2.2由上式所定義的矩陣范數(shù)為相容范數(shù)

36、。證明：當(dāng)x=0時(shí)，(1)式顯然成立。矩陣的譜半徑矩陣范數(shù)同矩陣特征值之間有密切的聯(lián)系，設(shè)λ是矩陣A相應(yīng)于特征向量x的特征值，即Ax＝λx,于是利用向量-矩陣范數(shù)的相容性，得到

37、λ

38、

39、

40、x

41、

42、=

43、

44、λx

45、

46、從而，對(duì)A的任何特征值λ均成立=

47、

48、Ax

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50、≤

51、

52、A

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54、

55、

56、x

57、

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59、λ

60、≤

61、

62、A

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64、（3）設(shè)n階矩陣A的n個(gè)特征值為λ1,λ2，…λn，稱為矩陣A的譜半徑。3.7迭代法及其收斂性3.7.1迭代法的一般形式已知線性代數(shù)方程組首先將方程組改寫(xiě)成等價(jià)的形式從而建立迭代式：稱為迭代序列，并稱H為迭代矩陣。3.7.2迭代法的收斂性利用迭代公式構(gòu)造序列,以

65、求得方程組的近似解的算法稱為解式的簡(jiǎn)單迭代法。若迭代序列收斂，則稱此迭代法是收斂的。兩式相減，知誤差向量滿足下列迭代關(guān)系：由此遞推：定理2：迭代法(2.2.3)式對(duì)任何初始近似均收斂的充分必要條件是定理3：的充要條件是定理4：迭代法(2.2.3)式對(duì)任何初始近似均收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑推論：若(允許為任何一種相容的矩陣范數(shù))，則迭代法(2.2.3)式收斂。例1設(shè)其中，討論該迭代法的收斂性。例2設(shè)其中，討論該迭代法的收斂性。3.7.3迭代法的收斂速度定理2.5當(dāng)時(shí)，由迭代法（2.2.3）式所定義的序列滿足如下估計(jì)式：現(xiàn)在討論使誤差減

66、少初始誤差的倍所需的最少迭代次數(shù)。若要求則兩邊取對(duì)數(shù)得:定義:為迭代法漸進(jìn)收斂速度。