2011-2012揚州大學(xué)第二學(xué)期高等代數(shù)試卷A.doc

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1、2011-2012揚州大學(xué)第二學(xué)期高等代數(shù)試卷A數(shù)學(xué)與財經(jīng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)級1、2班答卷說明：1、本試卷共3頁，四個大題，滿分100分，120分鐘完卷。2、字跡工整，卷面整潔。題號一二三四總分總分人題分30203020核分人得分復(fù)查人得分一、填空：(每空2分，共20分)評卷人1、實二次型的矩陣為；2、設(shè)為實數(shù)域上由矩陣的全體實系數(shù)多項式組成的空間，其中，則的一組基為；3.設(shè)與是的兩個子空間，則+是直和的充分必要條件是；4、在歐氏空間中，向量，，那么＝，＝；5、復(fù)矩陣的全體特征值的和等于，而全體特征值的積等于。6、已知三維歐氏空間中有一組基，其度量矩

2、陣為，則向量的長度為，向量與的距離為。7、已知是的一個子空間，則＝，它的一組基；8、已知的兩組基（Ⅰ）：和（Ⅱ），又的線性變換滿足：，則在基（Ⅱ）下的矩陣為；基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為；9、若矩陣的特征值是，則的特征值是；10、已知二次型，則當(dāng)滿足時，二次型是正定的。二、判斷：(正確的用“√”表示，錯誤的用“×”表示，每小題2分，共20分)得分評卷人1、在線性空間中，是的解空間，是的解空間，是的解空間，則。（）2、在全體二維實向量集合中,按如下規(guī)定的加法與數(shù)乘運算：，構(gòu)成的線性空間中，向量與是線性相關(guān)的；（）3、若都是的線性變換，且，則的核與值域都

3、是的不變子空間；（）4、數(shù)乘變換在任何基下的矩陣都相等；()5、對于歐氏空間中任意向量，是中一個單位向量；()6、是維歐氏空間的一組基，分別是中的向量在這組基下的坐標(biāo)，則；（）7、線性變換的特征向量之和仍是特征向量；（）8、是上的4維線性空間；（）9、兩個級正交矩陣之和是正交矩陣；（）10、歐氏空間的內(nèi)積是一個雙線性函數(shù).()揚州大學(xué)高等代數(shù)得分三、計算題：(每小題15分，共30分)評卷人1、設(shè),是四維線性空間的一組基,已知線性變換在這組基下的矩陣為（1）求在基,下的矩陣;（2）求的特征值與特征向量.密封線內(nèi)不要答題密封線系學(xué)號姓名裝訂線2.設(shè)二次型，

4、求一正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。密封線內(nèi)不要答題密封線系學(xué)號姓名裝訂線揚州大學(xué)高等代數(shù)得分四、證明題：(每小題10分，共20分)評卷人1、設(shè)是級實對稱矩陣且正定，為實矩陣，證明：為正定矩陣的充要條件是.密封線內(nèi)不要答題密封線系學(xué)號姓名裝訂線2、設(shè)是三維歐氏空間中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明：，，也是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。