直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換詳解.doc

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1、直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換詳解有些同學(xué)只注意公式的表達式，而忽略了他們的意義和他們之間的關(guān)系。因而經(jīng)常出現(xiàn)錯誤而不自覺。下面就把直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的意義與他們之間的關(guān)系細述如下：1.正確認識坐標(biāo)系：通常使用的直角坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，其x,y,z三個坐標(biāo)軸之間的關(guān)系如下圖所示：與之相對的不常用的是左手坐標(biāo)系如下右圖：在立體圖中經(jīng)常畫成如下兩種形式而右側(cè)的第三種形式則較少被用到（因為它的第一卦限不在最前方）：對于球坐標(biāo)則更復(fù)雜一些：首先一定要注意兩個互相垂直的角的定義域和初始方向：兩個角一般都用θ和φ來表示。比如θ的定義域是2π，相當(dāng)

2、于地球的經(jīng)度，一定要辨明所使用的球坐標(biāo)的θ是從（0→2π）還是從（-π→π）。而φ的定義域是π，相當(dāng)于地球的緯度，一定要辨明所用坐標(biāo)系的φ是從（0→π）還是從（-π/2→π/2）。所謂初始方向，是指球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系。如下圖所示：從上面兩圖可以看出θ角圍成一圈，其取值可以是（0→2π）也可以是（-π→π），且把地球分割成一個個的西瓜瓣。而φ角把地球切成一片片。其取值只能從南極到北極即（0→π）或（-π/2→π/2），且圖⑴只能?。?π/2→π/2）,而圖⑵只能?。?→π）。所以雖然從理論上來說，常把φ的取值范圍取（0

3、→π），但地球圖都采取圖⑴的方式。正是由于φ的兩種不同的取值方式?jīng)Q定了球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換的不同表達式。下面就以圖1的方式配以適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的地球圖如下：其兩種坐標(biāo)的關(guān)系如右圖:2.將球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)：從圖中可以看出在此圖的關(guān)系中θ的變化實在x-y平面內(nèi)。其0點為A方向與x軸方向一致。向右為正，經(jīng)過y軸為π/2達到x的負方向時為π，如果定義域為（0→2π）則繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時θ值繼續(xù)增大，否則變負。這有什么重要性？它直接關(guān)系到從直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系時的結(jié)果的正確性。同樣可以看到此圖中φ的0點也與x軸的方向一致

4、為A。而且向上為正。轉(zhuǎn)到與z軸方向依照時為π/2。向下為負，到達z軸的負方向時為-π/2（也就是說φ的定義域為-π/2→π/2,而非0→π）。同樣對如下幾個圖形也可仔細判明：從右圖的具體關(guān)系可以看出：其直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系如下：其它再舉幾例如下：可參照解決。其中圖2為：圖3為：3.由直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)：根據(jù)不同的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的關(guān)系，表面看來很容易求得相應(yīng)的直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為球坐標(biāo)的表達式。⑴對于圖1的情形就有：但，由于反三角函數(shù)的多值性，反三角函數(shù)表只能給出θ的主值，而不能給出其真實值。要求出θ的真實值，還要依據(jù)其定

5、義域的不同，作必要的調(diào)整。其調(diào)整方式如下：當(dāng)θ定義為-π→π時如下圖有：當(dāng)θ定義為0→2π時如下圖有：由此圖可知，其與（－π→π）的區(qū)別在于：⑴對于圖2與圖1類似，則有：所不同的是：φ的取值范圍是（0→π），所以當(dāng)時，φ取得主值后應(yīng)。θ的調(diào)整方法與圖1相同。⑵對于圖3與圖1其實是相似的，只需把x,y,z輪換改成z,x,y即：對于計算θ真實值的調(diào)整，當(dāng)然也同樣要進行字母的輪換。