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1、第三章行波法與積分變換法行波法(求解無(wú)界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程定解問(wèn)題)積分變換法(無(wú)界或有界區(qū)域)3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式考慮代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式同理有:代入方程，得到在上式中對(duì)積分,得(是的任意可微函數(shù))3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式再將此式對(duì)積分,其中都是任意二次連續(xù)可微函數(shù).利用初始條件，確定兩個(gè)函數(shù)的具體形式。由第二式得……………②……………①.............③其中3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式由①,③解得代入通解表達(dá)
2、式，得—達(dá)朗貝爾(D’Alembert)公式.3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式圖3-1u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考慮的物理意義隨著時(shí)間t的推移u2的圖形以速度a向x軸正向移動(dòng).3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式物理意義:隨著時(shí)間t的推移,的圖形以速度a向x軸正方向移動(dòng),也就是說(shuō),它表示一個(gè)以速度a向x軸正方向行進(jìn)的波,稱為右行波.同樣道理,以速度a向x軸負(fù)方向傳播的行波,稱為左行波.3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式在平面上斜率為的兩族直線,對(duì)一維波動(dòng)方程的研究起到重要作用,稱這兩族直線為
3、一維波動(dòng)方程的特征線,變換稱為特征變換,行波法也叫特征線法.3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式的積分曲線,這個(gè)常微分方程稱為它的特征方程.一維波動(dòng)方程的兩族特征線恰好是常微分方程3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式一般的二階線性偏微分方程它的特征方程為(*)這個(gè)常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(*)的特征曲線.記稱其為二階線性偏微分方程的判別式雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式可以證明，當(dāng)時(shí)，有兩條相異的實(shí)特征線因此特征線法對(duì)雙曲型方程都是有效的，沿著特征線做自變量替換總可以把雙曲型方程
4、化為從而得到方程的通解3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式例求下面問(wèn)題的解:(3.1)解:特征方程兩族積分曲線為做特征變換3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式代入方程化簡(jiǎn)得:3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式它的通解為其中,是兩個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù).于是原方程的通解為代入初始條件,，得第二式的兩端得關(guān)于積分得解得所求問(wèn)題的解為3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式解特征方程為特征曲線為例求方程的一般解.3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式所以，做變換則原方程可以變?yōu)槠渲?是任意的二次連續(xù)可微函數(shù).于是
5、，方程的通解為3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式研究波在空間傳播問(wèn)題.三維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式一、球?qū)ΨQ情形球坐標(biāo)系3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式若僅是r的函數(shù),則是r和t的函數(shù),此時(shí)稱定解問(wèn)題是球?qū)ΨQ的。球?qū)ΨQ波動(dòng)方程進(jìn)一步有3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式對(duì)球?qū)ΨQ問(wèn)題球?qū)ΨQ情形下，三維波動(dòng)方程邊值問(wèn)題可化為3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式這個(gè)問(wèn)題我熟悉！由達(dá)朗貝爾公式3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式二.一般情況令表示在球面上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面上的
6、點(diǎn),3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式二.一般情況令3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式表示以M為中心的單位球面，表示上的面積元素，表示單位球面上的面積元素，即而3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式以下推導(dǎo)所滿足方程及初始條件。3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式進(jìn)一步有：兩邊關(guān)于r求導(dǎo)，得得由3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式即可得：由3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式由初值條件和的表達(dá)式，有：其中分別是函數(shù)在上的球平均值。滿足如下定解問(wèn)題：3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式方程的通解為利用初始條件有其中是兩個(gè)二次連續(xù)可微的任意函數(shù)3.2三維波動(dòng)方程的泊松
7、公式所以解方程組得3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式將延拓到r<0的范圍內(nèi)。并且同理也是偶函數(shù)利用3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式所以3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式由于，只考慮的情形利用洛必達(dá)法則3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式即簡(jiǎn)記成3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式三維波動(dòng)方程的泊松公式三、泊松公式的物理意義從泊松公式出發(fā)，解釋波在三維空間的傳播現(xiàn)象.設(shè)且，1.在任一固定點(diǎn)的振動(dòng)情況設(shè)，由沿以M為中心，at為半徑的球面的曲面積分所決定。3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式M點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)，說(shuō)明T的振動(dòng)尚未達(dá)到M點(diǎn)。①當(dāng)時(shí)，為空集，所以②
8、當(dāng)時(shí)，不為空集，所以M點(diǎn)處于振動(dòng)狀態(tài),表明T的振動(dòng)已傳到M點(diǎn)。③當(dāng)時(shí)，為空集，說(shuō)明振動(dòng)已傳過(guò)M點(diǎn)，M點(diǎn)仍回復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)。3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式2.在某固定時(shí)刻，初始時(shí)刻的振動(dòng)所傳播的范圍設(shè)，T是半徑為R的球體。由Poisson公式，只有與M相距為的點(diǎn)上的初始擾動(dòng)能夠影響的值，故P點(diǎn)的初始擾動(dòng)，在時(shí)刻只影響到以P為球心，以為半徑的球面當(dāng)P在T內(nèi)移動(dòng)時(shí)，球面族的包絡(luò)面所圍成的區(qū)域即為
