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1、第三章DFT離散傅里葉變換§3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論§3-8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近§3-6DFT的性質§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示§3-3周期序列的DFS§3-4DFS的性質§3-2傅氏變換的幾種可能形式§3-1引言點擊進入目一.DFT是重要的變換1.分析有限長序列的有用工具。2.在信號處理的理論上有重要意義。3.在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關都可以通DFT在計算機上實現?！?-1引言二.DFT是現代信號處理橋梁DFT要解決兩個問題：一是離散與量化，二是快速運算。信號處理DFT(FFT)
2、傅氏變換離散量化§3-2傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性:時域連續(xù)，則頻域非周期。反之亦然。二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數0t------0時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為Tp,頻域譜線間隔為2π/Tp三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換--序列的傅氏變換x(nT)T-T0T2Tt0------時域信號頻域信號離散的非周期的周期的連續(xù)的四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFTx(nT)=x(n)t0T2T12N
3、n00123kNT由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的DFT的簡單推演：在一個周期內，可進行如下變換：視作n的函數，視作k的函數，這樣,正反回到目錄§3-3周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入對上式進行抽樣，得：導出周期序列DFS的傳統方法是從連續(xù)的周期信號的復數傅氏級數開始的：因是離散的，所以應是周期的。，代入而且，其周期為，因此應是N點的周期序列。又由于所以求和可以在一個周期內進行，即這就是說，當在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N
4、-1求和所得的結果是一致的。二.的k次諧波系數的求法1.預備知識同樣，當時，p也為任意整數，則所以亦即的表達式將式的兩端乘，然后從n=0到N-1求和，則：的DFS通常將定標因子1/N移到表示式中。即：3.離散傅氏級數的習慣表示法通常用符號代入，則：正變換：反變換：4.的周期性與用Z變換的求法周期性：的一個周期內序列記作,而且=,0?n?N-10,其他n對作Z變換，用Z變換的求：可見，是Z變換在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的N個等分點上，且第一個抽樣點為k=0。如果，則有1234567(N-1)k=0其中，a,b為任意常數。§3
5、-4DFS的性質一.線性如果則有二.序列的移位則有：如果證明：令i=m+n,則n=i-m。n=0時，i=m;n=N-1時，i=N-1+m所以*和都是以N為周期的周期函數。三.調制特性如果則有證明：時域乘以虛指數()的m次冪，頻域搬移m,調制特性。四.周期卷積和1.如果則：證明從略。2.兩個周期序列的周期卷積過程（1）畫出和的圖形；（2）將翻摺,得到可計算出：m計算區(qū)mm0123（3）將右移一位、得到可計算出：m計算區(qū)mm0123m（4）將再右移一位、得到，可計算出：（5）以此類推，n1344計算區(qū)313.頻域卷積定理如果，則證明
6、從略。§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示一.預備知識1.余數運算表達式如果，m為整數；則有：此運算符表示n被N除，商為m，余數為。是的解,或稱作取余數,或說作n對N取模值,或簡稱為取模值,n模N。例如：(1)(2)先取模值，后進行函數運作;而視作將周期延拓。2.二.有限長序列x(n)和周期序列的關系=,0?n?N-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。如：N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列與有限長
7、序列X(k)的關系同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進行。因此可得到新的定義，即有限長序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。,0?k?N-1,0?n?N-1或者：§3-6DFT的性質一.線性1.兩序列都是N點時如果則有：2.和的長度N1和N2不等時，選擇為變換長度,短者進行補零達到N點。二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列的圓周移位定義為這里包括三層意思：?先將進行周
8、期延拓?再進行移位?最后取主值序列：n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圓周位移的含義由于我們取主值序列，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把排列一個N等分的圓周上，序列
