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《高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第117傅立葉級(jí)數(shù).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第七節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)第十一章傅里葉級(jí)數(shù)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱(chēng)上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交,上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)定理2.設(shè)f(x)是周期為2
2、?的周期函數(shù),且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有證:由定理?xiàng)l件,①②對(duì)①在逐項(xiàng)積分,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(利用正交性)類(lèi)似地,用sinkx乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)①稱(chēng)為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級(jí)數(shù).稱(chēng)為函數(shù)傅里葉目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3(收斂定理,展開(kāi)定理)設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù),并滿(mǎn)足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn);2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有x為間斷點(diǎn)其中(證明略)為f(x)的傅里葉系數(shù).x為
3、連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù),它在上的表達(dá)式為解:先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1)根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說(shuō)明:f(x)的情況見(jiàn)右圖.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù),它在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束周期延拓傅里葉展開(kāi)上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在[–?,?]上的函數(shù)f(x)的
4、傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)法其它機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.將函數(shù)級(jí)數(shù).則解:將f(x)延拓成以展成傅里葉2?為周期的函數(shù)F(x),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,得說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)已知又機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2?的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4.對(duì)周期為2?的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2?的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).是周期為2?
5、的周期函數(shù),它在解:若不計(jì)周期為2?的奇函數(shù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見(jiàn)右圖.n＝5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.將周期函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2?的周期偶函數(shù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.在[0,?]上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,?]上展成周期延拓F(x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓正弦級(jí)數(shù)f(x)在[0,?]上展成機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.將函數(shù)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解:先求正弦級(jí)數(shù)
6、.去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:在端點(diǎn)x=0,?,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此得f(x)=x+1的值不同.再求余弦級(jí)數(shù).將則有作偶周期延拓,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:令x=0可得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.周期為2?的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.周期為2?的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,?]上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法作奇周期延拓,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)作偶周期延拓,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)1.在[0,?]上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法
7、唯一嗎?答:不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)處收斂于2.則它的傅里葉級(jí)數(shù)在在處收斂于.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,3.設(shè)又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.解:由題設(shè)可知應(yīng)對(duì)作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù),定義域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.寫(xiě)出函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù).答案:定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P2501(1),(3);2(1),(2);3;5;7;8(2)第八節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)備用題1.葉級(jí)數(shù)展式為則其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的傅里2.設(shè)是以2
8、?為周期的
