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1、???????????????????????最新資料推薦???????????????????極限計(jì)算方法總結(jié)（簡(jiǎn)潔版）一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1．定義：（各種類(lèi)型的極限的嚴(yán)格定義參見(jiàn)《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。說(shuō)明：（1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證bn0，當(dāng)
2、q
3、1時(shí)明，例如：lim0(a,b為常數(shù)且a0)；lim(3x1)5；limq；nanx2n不存在，當(dāng)
4、q
5、1時(shí)等等（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限
6、嚴(yán)格定義證明。2．極限運(yùn)算法則定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)ABf(x)A（3）lim,(此時(shí)需B0成立)g(x)B說(shuō)明：極限號(hào)下面的極限過(guò)程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)，不能用。3．兩個(gè)重要極限sinx（1）lim1x0x1x1x（2）lim(1x)e；lim(1)ex0xx說(shuō)明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡(jiǎn)介：靳一東，男，（1964—），
7、副教授。1xsin3x2x33例如：lim1，lim(12x)e，lim(1)e；等等。x0x0xx3x4．等價(jià)無(wú)窮小定理2無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮?。礃O限是0）。定理3當(dāng)x0時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小（即極限是0），且相互等價(jià)，即有：xx～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～e1。說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)0），仍有上面的等價(jià)3x22關(guān)系成立，例如：當(dāng)x0時(shí)，e1～3x；ln(1x)～x。定理4如果函數(shù)f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0時(shí)的無(wú)
8、窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～1???????????????????????最新資料推薦???????????????????f1(x)f(x)f1(x)g1(x)，則當(dāng)lim存在時(shí)，lim也存在且等于f(x)lim，即xx0g1(x)xx0g(x)xx0g1(x)f(x)f1(x)lim=lim。xx0g(x)xx0g(x)15．洛比達(dá)法則定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無(wú)窮大；（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)
9、不為0；f(x)（3）lim存在（或是無(wú)窮大）；g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。g(x)g(x)g(x)g(x)說(shuō)明：定理5稱(chēng)為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿(mǎn)足，只要有一條不滿(mǎn)足，洛比0達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿(mǎn)足，即驗(yàn)證所求極限是否為“”型或“”型；條件0（2）一般都滿(mǎn)足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿(mǎn)足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6．連續(xù)性定理6一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)
10、，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imf(x)f(x0)。xx07．極限存在準(zhǔn)則定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿(mǎn)足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）limyna，limznann則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxna。nn二、求極限方法舉例1．用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限3x12例1limx1x122(3x1)23x33解：原式=limlim。x1x14(x1)(3x12)(x1)(3x12)2?
11、??????????????????????最新資料推薦???????????????????注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2limn(n2n1)n分子分母同除以nn[(n2)(n1)]33解：原式=limlim。nn2n2n12111nnnn(1)3例3limnnn231n上下同除以n()133解：原式lim1。n2n()132．利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限12x例4limxex212x解：因?yàn)閤02是函數(shù)f(x)xe的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，122所以原式=2e4e。3．利用兩個(gè)重要極限求極限1cosx例5limx023x2x2x
12、2sin2sin221解：原式=lim2lim。x03xx0x2612()2注：本題也可以用洛比達(dá)法則。2x例6lim(13sinx)x016sinx16sinx3sinxx3sinxx6解：原式=lim(13sinx)lim[(13sinx)]e。x0x0n2n例7lim(
