2007年1月數(shù)學(xué)物理方法考題a.doc

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1、電子科技大學(xué)二零零五至二零零六學(xué)年第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)物理方法課程考試題（分鐘）考試形式：考試日期2007年月日一二三四五六七八九十總分評卷教師一、填空（5*4=20分）1、定解問題的解為2、確定下列本征值問題的本征值＝，本征函數(shù)＝3、貝塞爾方程：（式中m為整數(shù)）的通解為：。4、積分：［0］。二、長為的桿，一端固定，另一端受力F0而伸長，求解放手后桿的振動(dòng)。（15分）解：定解問題為：（6分）本題既有第一類邊界條件，也有第二類邊界條件，令，代入泛定方程分離變量得：，（2分）時(shí)才有有意義的解，再利用邊界條件得：，所以將本征值代入關(guān)于T的微分

2、方程得：（2分）所以（2分）利用初始條件，可得再利用初始條件，可解得（1分）所以：（2分）三、長為的均勻細(xì)弦，兩端固定于處，弦中的張力為T0，在x=h點(diǎn)處，以橫向力F0拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其自由振動(dòng)，寫出其初始條件：（10分）解：設(shè)弦在x=h處收到橫向力作用后發(fā)生的位移為y，則弦的初始位移如圖所示：由兩條直線的方程給出：（5分）其中y為待求量，又設(shè)h的左右兩邊的弦中的張力分別為T1,T2,由牛頓定律得：（5分）其中的T1,T2,a1,a2均為輔助量，只要找出其和已知量及h的關(guān)系，并代入上式，就可求得y.作微小振動(dòng)近似，可得：（2分）所以可得：（3分）四、求

3、定解問題（15分）（每個(gè)公式5分）五、在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題（10分）【解】構(gòu)建格林函數(shù)滿足（3分）根據(jù)物理模型和無界區(qū)域的格林函數(shù)可以構(gòu)建為即有（3分）為了把代入拉普拉斯第一邊值問題的解的公式，需要先計(jì)算即為，因?yàn)檫吔缤夥ň€方向?yàn)樨?fù)z軸方向．（3分）（3分）代入（14.2.22）即得到（3分）六、（15分）1、已知P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=,將函數(shù)按勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)展開。解：令（2分）所以（2分）（1分）2、利用特殊函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，計(jì)算下列積分：　解：（2分）（1分）（2分）