香農(nóng)采樣定理.doc

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1、所謂采樣定理，又稱香農(nóng)采樣定理，奈奎斯特采樣定理，是信息論，特別是通訊與信號(hào)處理學(xué)科中的一個(gè)重要基本結(jié)論.E.T.Whittaker(1915年發(fā)表的統(tǒng)計(jì)理論),克勞德·香農(nóng)與HarryNyquist都對(duì)它作出了重要貢獻(xiàn)。另外,V.A.Kotelnikov也對(duì)這個(gè)定理做了重要貢獻(xiàn)?！　〔蓸邮菍⒁粋€(gè)信號(hào)（即時(shí)間或空間上的連續(xù)函數(shù)）轉(zhuǎn)換成一個(gè)數(shù)值序列（即時(shí)間或空間上的離散函數(shù)）。采樣定理指出，如果信號(hào)是帶限的，并且采樣頻率高于信號(hào)帶寬的兩倍，那么，原來(lái)的連續(xù)信號(hào)可以從采樣樣本中完全重建出來(lái)。　　帶限信號(hào)變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制

2、，也就是說(shuō)它的離散時(shí)刻采樣表現(xiàn)信號(hào)細(xì)節(jié)的能力是有限的。采樣定理是指，如果信號(hào)帶寬不到采樣頻率的一半（即奈奎斯特頻率），那么此時(shí)這些離散的采樣點(diǎn)能夠完全表示原信號(hào)。高于或處于奈奎斯特頻率的頻率分量會(huì)導(dǎo)致混疊現(xiàn)象。大多數(shù)應(yīng)用都要求避免混疊，混疊問(wèn)題的嚴(yán)重程度與這些混疊頻率分量的相對(duì)強(qiáng)度有關(guān)。[編輯]采樣簡(jiǎn)介　　從信號(hào)處理的角度來(lái)看，此采樣定理描述了兩個(gè)過(guò)程：其一是采樣，這一過(guò)程將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)；其二是信號(hào)的重建，這一過(guò)程離散信號(hào)還原成連續(xù)信號(hào)?！　∵B續(xù)信號(hào)在時(shí)間（或空間）上以某種方式變化著，而采樣過(guò)程則是在時(shí)間（或空間）上

3、，以T為單位間隔來(lái)測(cè)量連續(xù)信號(hào)的值。T稱為采樣間隔。在實(shí)際中，如果信號(hào)是時(shí)間的函數(shù)，通常他們的采樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級(jí)。采樣過(guò)程產(chǎn)生一系列的數(shù)字，稱為樣本。樣本代表了原來(lái)地信號(hào)。每一個(gè)樣本都對(duì)應(yīng)著測(cè)量這一樣本的特定時(shí)間點(diǎn)，而采樣間隔的倒數(shù)，1/T即為采樣頻率，fs，其單位為樣本/秒，即赫茲(hertz)?！　⌒盘?hào)的重建是對(duì)樣本進(jìn)行插值的過(guò)程，即，從離散的樣本x[n]中，用數(shù)學(xué)的方法確定連續(xù)信號(hào)x(t)。從采樣定理中，我們可以得出以下結(jié)論：如果已知信號(hào)的最高頻率fH，采樣定理給出了保證完全重建信號(hào)的最低采樣頻率。這一最低采

4、樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特采樣率，通常表示為fN。相反，如果已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完全重建信號(hào)所允許的最高信號(hào)頻率。以上兩種情況都說(shuō)明，被采樣的信號(hào)必須是帶限的，即信號(hào)中高于某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重建信號(hào)中這些頻率成分的影響可忽略不計(jì)。在第一種情況下，被采樣信號(hào)的頻率成分已知，比如聲音信號(hào)，由人類發(fā)出的聲音信號(hào)中，頻率超過(guò)5kHz的成分通常非常小，因此以10kHz的頻率來(lái)采樣這樣的音頻信號(hào)就足夠了。在第二種情況下，我們得假設(shè)信號(hào)中頻率高于采樣頻率一半的頻率成分可忽略不計(jì)。這通常是用一個(gè)低通

5、濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)的。[編輯]混疊　　如果不能滿足上述采樣條件，采樣后信號(hào)的頻率就會(huì)重疊，即高于采樣頻率一半的頻率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號(hào)。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，而重建出來(lái)的信號(hào)稱為原信號(hào)的混疊替身，因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)有同樣的樣本值?！　∫粋€(gè)頻率正好是采樣頻率一半的弦波信號(hào)，通常會(huì)混疊成另一相同頻率的波弦信號(hào)，但它的相位和幅度改變了以下兩種措施可避免混疊的發(fā)生：1.提高采樣頻率，使之達(dá)到最高信號(hào)頻率的兩倍以上；2.引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數(shù)；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器　　抗混疊濾波器可限制信號(hào)的帶寬，使之

6、滿足采樣定理的條件。從理論上來(lái)說(shuō)，這是可行的，但是在實(shí)際情況中是不可能做到的。因?yàn)闉V波器不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號(hào)，所以，采樣定理要求的帶寬之外總有一些“小的”能量。不過(guò)抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計(jì)。[編輯]減采樣　　當(dāng)一個(gè)信號(hào)被減采樣時(shí)，必須滿足采樣定理以避免混疊。為了滿足采樣定理的要求，信號(hào)在進(jìn)行減采樣操作前，必須通過(guò)一個(gè)具有適當(dāng)截止頻率的低通濾波器。這個(gè)用于避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。采樣過(guò)程所應(yīng)遵循的規(guī)律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說(shuō)明采樣頻率與信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號(hào)離散化

7、的基本依據(jù)。采樣定理是1928年由美國(guó)電信工程師H.奈奎斯特首先提出來(lái)的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述這一定理，因此在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確地說(shuō)明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱為香農(nóng)采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理。采樣定理在數(shù)字式遙測(cè)系統(tǒng)、時(shí)分制遙測(cè)系統(tǒng)、信息處理、數(shù)字通信和采樣控制理論等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用?！　r(shí)域采樣定理　頻帶為F的連續(xù)信號(hào)f(t)可用一

8、系列離散的采樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，…來(lái)表示,只要這些采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔Δt≤1/2F，便可根據(jù)各采樣值完全恢復(fù)原來(lái)的信號(hào)f(t)。　　時(shí)域采樣定理的另一種表述方式是：當(dāng)時(shí)間信號(hào)函數(shù)f(t)的