里茨-加廖金方法.doc

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1、里茨－加廖金方法里茨－加廖金方法Ritz-Galerkinmethod??求解數(shù)學(xué)物理方程的近似方法，主要用于橢圓型邊值問題,W.里茨于1908年對此做了開創(chuàng)性的工作這類方法從變分原理出發(fā)，選定有限個試探函數(shù),,…,，用它們的線性組合[438-04]構(gòu)造近似解,[kg1]從而把問題歸結(jié)為確定組合中的系數(shù)?！O小值原理　表達物理基本定律的一種形式，其表達可概括如下：給出一個依賴于物理狀態(tài)（為一函數(shù)）的變量()（數(shù)學(xué)上稱為泛函），同時給出()的容許函數(shù)集，即一切容許取的物理狀態(tài),則真實的物理狀態(tài)就是中使()達到極小值的函數(shù)。例如彈性力學(xué)中著名的極小能量原理的表述是：彈性體在外力作

2、用下的平衡位移使總勢能達到極小。這里，總勢能是位移函數(shù)的泛函?，F(xiàn)討論小變形的均勻彈性膜，膜在區(qū)域上的垂直位移用函數(shù)(,)表示,假定在邊界上膜固定在坐標平面上，即????????????????[438-05]，??????????????????(1)在外力(,)作用下彈性膜的總勢能為????[438-06]????(2)它的容許函數(shù)集是滿足邊界條件(1)并使積分(2)存在的全體函數(shù)。由極小能量原理得出：彈性膜的平衡位移是中使總勢能(2)達到極小的函數(shù)，即??????????????[438-07]。??????????????(3)　虛功原理　又稱虛位移原理，在力學(xué)中與極小

3、能量原理同屬變分原理。它的一般表述是：平衡系的力對虛位移所作的虛功為零。在彈性膜的例子中,如果仍以表示平衡位移，則虛功原理可表達為：對所有[kg1][kg1]，使????????[438-08]??????????(4)成立。變分問題(3)或(4)確定的平衡位移,也是泊松方程第一邊值問題的解，即滿足??????????????????[438-09]式中為拉普拉斯算子?！±锎姆ā呐c微分方程問題等價的極小值原理出發(fā)，選擇有限個試探函數(shù)[kg1],,…,，在它們的線性組合[439-01]中去找近似解。一般而言，試探函數(shù)須屬于容許函數(shù)集把[439-02]代入(2)，得到??[43

4、9-03]??????(5)式中????[439-04]，????????????[439-05]。由多元微分學(xué)可推出極小解[439-06]的系數(shù)應(yīng)滿足??????????[439-07]????????(6)故問題歸結(jié)為求解線代數(shù)方程組(6)?！〖恿谓鸱ā奶摴Ψ匠?4)出發(fā),把近似解表為試探函數(shù)，，…，的線性組合[439-06],另選定函數(shù)，,…,作為(4)中的虛位移,也須滿足邊界條件(1)，稱為檢驗函數(shù)。將線性組合代入虛功方程(4)，得到????[439-09]利用分部積分公式得??[439-10]。若取=,可看出方程組(7)即方程組(6)，也就是說這時里茨法與加廖金法

5、一致。由于檢驗函數(shù)的選擇可不同于試驗函數(shù)，另外，對非自共軛問題=不存在等價的極小值問題，但可建立等價的廣義虛功方程????????????[439-11]加廖金法仍可用，所以加廖金法是里茨法的推廣，它比里茨法更靈活和廣泛。　里茨－加廖金法的有效使用依賴于試探函數(shù)和檢驗函數(shù)的選取，傳統(tǒng)的做法是選取代數(shù)或三角多項式之類的解析函數(shù)，其優(yōu)點是，對光滑解只需很少幾個，近似解就能達到很高的精度。在電子計算機出現(xiàn)之前，這種方法比較切合實際。但這樣選取的函數(shù)只當區(qū)域的形狀很特殊才能滿足給定的邊界條件，故在應(yīng)用上受到很大限制。隨著電子計算機的出現(xiàn)，產(chǎn)生了有限元方法，它繼承了里茨-加廖金法從變分

6、原理出發(fā)的基本特點,但不用多項式之類的解析函數(shù)，而是用剖分插值的方法構(gòu)造試探函數(shù)和檢驗函數(shù)，從而使方法具有極大的靈活適用性，能很好地處理復(fù)雜的幾何形狀、間斷介質(zhì)以及奇性載荷等情況，在科學(xué)與工程的計算中獲得廣泛的使用。