基本不等式---求最值的常見(jiàn)技巧.doc

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1、基本不等式---求最值的常見(jiàn)技巧【理論解析】一個(gè)技巧：逆用就是，逆用就是等．兩個(gè)變形：(1),即調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）(2)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))．三個(gè)注意“一正、二定、三相等”的忽視．【解題方法技巧舉例】1、添、減項(xiàng)（配常數(shù)項(xiàng)）　　例1求函數(shù)的最小值.　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí),等號(hào)成立.所以的最小值是.　2、配系數(shù)（乘、除項(xiàng)）　　例2已知，且滿足，求的最大值.　　分析,是二項(xiàng)“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值，　　而已知是與的和為定值，故應(yīng)先配系數(shù)，即將變形為

2、，再用均值不等式.　　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值是.　3、裂項(xiàng)例3已知，求函數(shù)的最小值.　　分析在分子的各因式中分別湊出，借助于裂項(xiàng)解決問(wèn)題.　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).　　所以.　　4、取倒數(shù)　例4已知，求函數(shù)的最小值.　　分析分母是與的積，可通過(guò)配系數(shù)，使它們的和為定值；也可通過(guò)配系數(shù)，使它們的和為(這是解本題時(shí)真正需要的).于是通過(guò)取倒數(shù)即可解決問(wèn)題.　　解由，得，.　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).　　故的最小值是.　　5、平方　　例5已知且求的最大值.　　分析條件式中的與都是平方式，而

3、所求式中的是一次式，是平方式但帶根號(hào).初看似乎無(wú)從下手，但若把所求式平方，則解題思路豁然開(kāi)朗，即可利用均值不等式來(lái)解決.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.　　故的最大值是.　　評(píng)注本題也可將納入根號(hào)內(nèi)，即將所求式化為，先配系數(shù)，再運(yùn)用均值不等式的變式.　　6、換元（整體思想）　　例6求函數(shù)的最大值.　　分析可先令，進(jìn)行換元，再使分子常數(shù)化，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)解決.　　　　7、逆用條件　　例7已知,則的最小值是（）.　　分析直接利用均值不等式，只能求的最小值，而無(wú)法求的最小值.這時(shí)可逆用條件，即由，得，然后

4、展開(kāi)即可解決問(wèn)題.　評(píng)注若已知(或其他定值)，要求的最大值，則同樣可運(yùn)用此法.　　8、巧組合　　例8若且,求的最小值.　　分析初看，這是一個(gè)三元式的最值問(wèn)題，無(wú)法利用+b來(lái)解決.換個(gè)思路，可考慮將重新組合，變成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了.9、消元例9、設(shè)為正實(shí)數(shù)，，則的最小值.　　分析本題也是三元式的最值問(wèn)題.由題意得，則可對(duì)進(jìn)行消元，用表示，即變?yōu)槎?，然后可利用均值不等式解決問(wèn)題.　【例題解析】例1求函數(shù)的最值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)

5、且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，.例2已知，且，求的最小值.解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)，.例3當(dāng)時(shí)，求的最大值.解析：此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值.注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可.當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為8.例4已知，求函數(shù)的最大值.解析：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，.例5已知，為正實(shí)數(shù)，且，求的最大值.解析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式.同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)中前面的系數(shù)為，.下面

6、將，分別看成兩個(gè)因式：則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.評(píng)注：本題注意到適當(dāng)添加常數(shù)配湊后，兩項(xiàng)的平方和為常數(shù)，故而進(jìn)行變形利用基本不等式鏈解決問(wèn)題.【基本不等式課堂練習(xí)】一、選擇題1.已知，則的最小值是（）A．2B．C．4D．52.當(dāng)0

7、?。茫?ab　?。模產(chǎn)6.設(shè)x>0,則的最大值為??（?。粒?　Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1?????7，設(shè)的最小值是(?????)?A.10??????B.???C.????D.8.若x,y是正數(shù)，且，則xy有（?。磷畲笾?6Ｂ．最小值??Ｃ．最小值16　Ｄ．最大值9.a,b是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)的大小順序是（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．?。模?0.下列函數(shù)中最小值為4的是()ＡＢＣＤ11、已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函數(shù)f(x)在(－2，－1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則不等式f(x)>1的解集為(　

8、　)A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)12、已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值是(　　)A．20B．18C．16D．913．設(shè)x,y為正數(shù),則(x+y)(+)的最小值為()A.6B.9C.12D.1514．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．15．若，則的最小值為（）A．8B