怎樣推導(dǎo)梁的應(yīng)力公式變形公式.doc

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1、05、基本知識(shí)怎樣推導(dǎo)梁的應(yīng)力公式、變形公式（供參考）同學(xué)們學(xué)習(xí)下面內(nèi)容后，一定要向老師回信（@qq.com），說出你對(duì)本資料的看法（收獲、不懂的地方、資料有錯(cuò)的地方），以便考核你的平時(shí)成績和改進(jìn)我的工作?；匦耪堊⒚靼嗉?jí)和學(xué)號(hào)的后面三位數(shù)。1*問題的提出12下面就用統(tǒng)一的步驟，研究梁的應(yīng)力公式和變形公式。231.1梁的純彎曲（純彎曲：橫截面上無剪力的粱段）應(yīng)力公式推導(dǎo)241.2梁彎曲的變形公式推導(dǎo)（僅研究純彎曲）551.3彎曲應(yīng)力公式和變形公式的簡要推導(dǎo)661.4梁彎曲的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剛度條件的建立772.1梁剪切的應(yīng)力公式推

2、導(dǎo)882.2梁彎曲的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的建立993.軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲剪切，應(yīng)力公式和變形公式推導(dǎo)匯總表91*問題的提出在材料力學(xué)里，分析桿件的強(qiáng)度和剛度是十分重要的，它們是材料力學(xué)的核心內(nèi)容。強(qiáng)度條件就是工作應(yīng)力不超過許用應(yīng)力，即，、；剛度條件就是工作變形不超過許用變形，即，、。如，梁彎曲強(qiáng)度條件：；剪切強(qiáng)度條件：剛度條件：撓度；轉(zhuǎn)角這里帶方括號(hào)的，是材料的某種許用值。由材料實(shí)驗(yàn)確定出破壞值，再除以安全系數(shù)，即得。顯然，不等式左側(cè)的工作應(yīng)力和工作變形計(jì)算公式，是十分重要的。如果把各種應(yīng)力公式和變形公式的來歷搞明白，對(duì)于如何進(jìn)

3、行強(qiáng)度分析和剛度分析（這是材料力學(xué)的主要內(nèi)容）就會(huì)得心應(yīng)手。桿件的基本變形一共四種：軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、剪切和彎曲變形。它們分別在軸向拉壓桿、扭轉(zhuǎn)軸、梁的各章講授。其對(duì)應(yīng)的公式各異，但是，推導(dǎo)這些公式的方法卻是一樣的，都要從靜力、幾何、物理三個(gè)方面考慮，從而導(dǎo)出相應(yīng)的《應(yīng)力公式》，在導(dǎo)出應(yīng)力公式之后，就可以十分方便地獲得《變形公式》。1下面就用統(tǒng)一的步驟，研究梁的應(yīng)力公式和變形公式。一般來說，多按靜力、幾何、物理的順序分析和講解這三個(gè)方面的問題。力是看不見、摸不著的，只能夠感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物體所承

4、受的力（這是力學(xué)難學(xué)的根本之所在）。變形是可以觀測的，或者借助易變形的橡膠模型觀測到。由于物體運(yùn)動(dòng)可以觀測到，速度、加速度不難理解，而絕大部分物體的變形很難肉眼觀測，研究平衡狀態(tài)下的內(nèi)力和變形的難度進(jìn)一步加深。物理方面是指材料的力學(xué)性質(zhì)，主要是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，這必須試驗(yàn)確定。在材料力學(xué)中主要用到線彈性材料胡克定律，基本上沒有難度。故，本文按先易后難的順序（幾何、物理、靜力）展開分析和研究。1梁的彎曲21.1梁的純彎曲（純彎曲：橫截面上無剪力的粱段）應(yīng)力公式推導(dǎo)1.1.1幾何學(xué)方面——變形協(xié)調(diào)：連續(xù)介質(zhì)在變形后仍然是連續(xù)介質(zhì)。考察一

5、端固定，一端受彎矩M作用的梁（純彎曲）。根據(jù)“平截面假設(shè)”，其變形圖示如下：圖1-1在平截面假設(shè)下，（1）同一橫截面上各點(diǎn)（z，y）應(yīng)變?chǔ)叛貀線性分布；（2）應(yīng)變?chǔ)排c梁高方向的y值成正比，比例常數(shù)cx僅與橫截面位置有關(guān)；（3）中性軸z上各點(diǎn)（y=0）的應(yīng)變?chǔ)艦榱?。MMdxzxyε=ydφdφyxzdxMMdxzεyε=ydφdφyxzdx(a)彎曲前平面圖(b)彎曲后平面圖(c)彎曲前立體圖(d)彎曲后立體圖從橡膠棒的純彎曲試驗(yàn)，我們觀測到純彎曲時(shí)，各橫截面繞面內(nèi)的某軸（中性軸Z）轉(zhuǎn)過一個(gè)角度（如圖1-1、1-2中的dφ），橫截

6、面仍然保持為平面，Mxyz圖1-2在平截面假設(shè)下同一橫截面上各點(diǎn)（z，y）應(yīng)變?chǔ)叛貀線性分布，y=0各點(diǎn)為零zεdxyε拉,maxdxε壓,maxdxεyαdφMxydxyεdx公式（1）表明：各縱向纖維（x方向）的單位長度伸長量εx（線應(yīng)變、正應(yīng)變）可表示為，同一截面各點(diǎn)（y坐標(biāo)不同）對(duì)應(yīng)的縱向纖維原長dx是一樣的，但伸長量ydφ不同，隨y線性變化。對(duì)于對(duì)應(yīng)的縱向纖維，故各條縱向纖維的單位長度伸長量εx(y)是不一樣大的。主題字母ε表示物理量為應(yīng)變，下標(biāo)x表示該量ε的方向，圓括號(hào)(y)內(nèi)的y表示εx的自變量是y，即εx(y)表

7、示x方向的縱向纖維線應(yīng)變，它隨y值變化。，表示梁同一橫截面上各點(diǎn)的應(yīng)變?chǔ)舩沿y方向線性分布，沿z方向不變。在y=0，即中性軸z軸上各點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)榱?。正彎曲作用的梁段上，中性層（為xz坐標(biāo)面）以下的縱向纖維伸長，中性層以上的縱向纖維縮短。1.1.2物理學(xué)方面——應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（物質(zhì)本構(gòu)關(guān)系）：假設(shè)組成桿件的材料是線彈性的。雖然應(yīng)變?chǔ)叛貀線性分布，但不知材料性質(zhì)時(shí)，應(yīng)力σ不一定線性。沿y線性分布，由于ε(0)=0，故應(yīng)力σ（y=0）=f(ε)=f(0)=0，假設(shè)σ分布如左下圖則只有成立。Mεyzεyε拉,maxε壓,maxxyzzyyd

8、ydA=bdybh/2h/2σy圖1-3彎矩與正應(yīng)力的一般表達(dá)式1.1.3靜力學(xué)方面——合力定理：合力等于分力之和。在梁的橫截面上的“廣義合力”為作用在xy面內(nèi)的力偶M（彎矩），故橫截面上各點(diǎn)“正應(yīng)力”向z軸取力矩的代數(shù)和，應(yīng)該等于彎矩M。把該橫截面劃分為若干個(gè)