能帶理論(陳長樂).ppt

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1、第四章能帶理論目錄4.1能帶理論基本假定4.2　布洛赫定理4.3　周期勢場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.4　近自由電子近似4.5　緊束縛近似4.1能帶理論基本假定在金屬自由電子模型中討論了電子的行為，解釋了金屬的導(dǎo)電、導(dǎo)熱和電子比熱等現(xiàn)象，但是，模型中完全忽略了晶體周期性勢場的存在和作用，過于簡單化，不能解釋如：導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體等基本問題。在晶體周期性勢場中運動的電子，將表現(xiàn)出許多新特點，如：電子波函數(shù)為調(diào)幅平面波，電子能量本征值在一定能量范圍內(nèi)準(zhǔn)連續(xù)分布，并構(gòu)成能帶，二個能帶間存在間隙，稱為能隙。固體能帶理論是目前研究晶體中電子狀態(tài)，闡明晶體性質(zhì)的最重要的基礎(chǔ)理論。一個嚴(yán)格的固體理論，應(yīng)求解

2、下述多粒子體系的薛定鄂方程的本征函數(shù)和本征值：第一和第二項為動能項對電子坐標(biāo)i和原子核坐標(biāo)?求和，第三項是電子間庫侖作用勢，?0和?r分別為真空介電常數(shù)和固體相對介電常數(shù)，第四項是原子核間相互作用勢，第五項是電子與原子核間相互作用勢能。方程嚴(yán)格求解不可能，必須簡化。固體能帶理論是近似理論。4.1能帶理論基本假定4.1.1絕熱近似因為，m<>V?，電子速度遠大于原子核速度，在考察電子在有限時間內(nèi)的行為，可以近似視原子核不動。另外，通常影響晶體性能的主要是價電子，而且，晶體中狀態(tài)發(fā)生變化的電子主要也是價電子，因此，可以把內(nèi)層電子和原子核看成一個離子實，價

3、電子在固定的離子實的勢場中運動。由此，原子核(離子實)動能項近似取為零；并適當(dāng)選擇勢能零點，使原子核間相互作用勢為零，即：4.1能帶理論基本假定由此，固體電子系統(tǒng)的薛定鄂方程為：這種把電子系統(tǒng)與原子核(離子實)分開處理的方法稱為絕熱近似。上述方程雖然經(jīng)過簡化，但仍然是多電子體系的薛定鄂方程，精確求解仍然非常困難。因為，所有電子的狀態(tài)都是相互關(guān)聯(lián)的，任一電子的狀態(tài)不僅與自身位置有關(guān)，而且和所有其它電子位置有關(guān)。4.1能帶理論基本假定4.1.1絕熱近似引入其為所有其它電子對電子i的平均作用勢，只是ri的函數(shù)，使得：引入其為所有離子實對電子i的平均作用勢，只是ri的函數(shù)，使得：以上近似使得每個電子處

4、在相同的勢場中，這一勢場就是所有電子和所有核的平均勢場，與電子i以外的其它電子的所有核的位置無關(guān)。4.1能帶理論基本假定4.1.2平均場近似進一步簡化下列方程將，和多電子系統(tǒng)的哈密頓量化簡為單電子的哈密頓量之和。4.1能帶理論基本假定4.1.2平均場近似得到代入由于所有電子都滿足同樣的薛定鄂方程，可以忽略下標(biāo)i。由此解出E，?(r)，它們分別為單電子的能量和波函數(shù)，系統(tǒng)的能量為單電子能量之和。一個多電子體系的薛定鄂方程求解化簡為一個單電子的薛定鄂方程求解問題。以上絕熱近似和平均場近似，也稱為單電子近似。4.1能帶理論基本假定4.1.2平均場近似通過以上簡化，得到如下結(jié)果：進一步考察單電子的哈密

5、頓量式中的勢能項為其中，是所有處在格點上的離子實的平均作用勢，它應(yīng)當(dāng)具有與晶格相同的平移周期性；其中，代表所有其它價電子對電子的平均作用勢，可以假定為一個均勻背景；因此，做如下周期勢場假定：4.1能帶理論基本假定4.1.3周期勢場假定綜上所述，在單電子近似和晶格周期勢場假定下，一個多電子體系問題，被簡化成一個在晶格周期勢場V(r)中的單電子的定態(tài)問題：Rn為晶格周期性平移矢量。這種建立在單電子近似基礎(chǔ)上的固體電子理論----稱為能帶理論。4.1能帶理論基本假定式中，4.2周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.2.1布洛赫定理本節(jié)中不考慮周期性勢場V(r)的具體形式，僅從V(r)的周期性出發(fā)，一般性地

6、討論在晶格周期性勢場中運動的單電子的波函數(shù)和能量所具有的屬性。布洛赫1928年首先證明了，在晶體周期性勢場中運動的單電子，其定態(tài)薛定鄂方程的解(波函數(shù))所具有的形式(波函數(shù)一般屬性)，是以晶格為周期調(diào)幅的平面波。這個論斷，被稱為布洛赫定理。布洛赫定理是固體能帶結(jié)構(gòu)的重要理論。布洛赫定理表述：在單電子近似下，如果電子的勢場V(r)是以晶格為周期的函數(shù)，式中，Rn為晶格周期性平移矢量，的本征函數(shù)?(r)具有調(diào)幅平面波的形式：其中是以晶格為周期的函數(shù),即：,k是一個實矢量，稱為布洛赫波，稱由描述的電子為布洛赫電子。4.2周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.2.1布洛赫定理則，薛定鄂方程即：布洛赫定理證明

7、：4.2周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.2.1布洛赫定理即證明周期勢場中電子薛定鄂方程(哈密頓算符)本征函數(shù)的特征，我們將引入平移算符，證明平移算符-哈密頓算符對易，導(dǎo)出并考察平移算符本征函數(shù)的特征。布洛赫定理證明：4.2周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.2.1布洛赫定理布洛赫定理證明：4.2周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.2.1布洛赫定理布洛赫定理證明：4.2周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性4.2.1