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1、化工傳遞過程第四章邊界層流動-2邊界層積分動量方程問題提出普蘭德邊界層方程雖然比一般的奈維-斯托克斯方程簡單,但仍是非線形的,只在少數(shù)幾種簡單的流動(如平板)才能獲得精確解,工程實踐中遇到的問題要復雜得多,直接求解普蘭德邊界層方程相當困難.為此,人們采用了各種近似方法來解決工程中的實際問題.積分動量方程就是一種計算量小目前在工程實踐中廣泛采用的一種方法.動量方程的基本思想對邊界層進行微分動量恒算,建立邊界層積分動量方程利用一個單參數(shù)速度速度分布ux=f(y)近似代替真實的速度分布ux=f(x,y),將其代入到邊界層積分動量方程中積分求解
2、利用積分結(jié)果計算諸如邊界層厚度,曳力系數(shù)等物理量.積分動量方程推導不可壓縮流體沿壁面穩(wěn)態(tài)層流邊界層如圖所示:密度ρ粘度為μ的不可壓縮流體在任一光滑壁面上流動,邊界層外來流速度為uo,距平板前緣x處的邊界層厚度為δ在平板前緣x處取一微元控制體積分動量方程推導控制體的體積為:它由兩個無限接近的邊界層截面1-2和3-4,壁面1-4及外流區(qū)與邊界層的界面2-3所組成,在板的寬度方向取單位厚度積分動量方程推導將動量守恒原理應用于微元控制體有:僅考慮x方向上的分量則有:作用在微元控制體上的合外力微元控制體在x方向上動量變化速率積分動量方程推導1-2
3、截面以對流方式流入該截面的質(zhì)量流率和動量流率分別為:積分動量方程推導3-4截面:以對流方式流出該截面的質(zhì)量流率和動量流率分別為:積分動量方程推導1-4截面:該截面沒有流體質(zhì)量和動量的流出:積分動量方程推導2-3截面:在穩(wěn)流狀態(tài)下流入該截面的質(zhì)量流率等于截面3-4與截面1-2質(zhì)量流率之差:積分動量方程推導2-3截面取在邊界層的外邊緣處,在此流體以外流速度流入控制體,因此從該截面流入的動量流率為:積分動量方程推導整個微元體內(nèi)凈動量變化速率為流出與流入之差:積分動量方程推導作用在控制體上的力(取x方向為正號)作用在1-4截面上的力為剪應力引起
4、的摩擦曳力:積分動量方程推導作用在1-2截面上的力為壓力:積分動量方程推導作用在3-4截面上的力為壓力:積分動量方程推導2-3截面與理想流體接觸無剪應力,作用在該截面上的力為壓力:積分動量方程推導作用在整個微元控制體上的合外力為:將合外力和動量變化速率代入動量恒算式后有:由于推導過程假定為x方向的一維流動,故可以將偏微分寫為常微分的形式(4-39)卡門邊界層積分動量方程積分動量方程推導對于平板壁面流動,在邊界層內(nèi)滿足:因此積分動量方程可以表示為由上式可以看出,如果知道速度沿y方向的分布,則可將其代入上式的左側(cè)積分,右側(cè)可以通過速度分布的
5、微分獲得,進而可以獲得邊界層厚度,曳力系數(shù)等有用的量.從理論上講,速度分布需要求解運動方程和連續(xù)性方程,為了避開這一難題,可以先假設(shè)一個速度分布,將其代入(4-40)中求解,將其結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)比較,如果吻合,說明所假設(shè)的速度分布正確,這是一種近似方法,顯然,假設(shè)的速度分布越接近實際情況,結(jié)果也越可靠.平板壁面上邊界層的近似解仍以不可壓縮流體在平板壁面上的穩(wěn)態(tài)層流邊界層為例討論邊界層積分動量方程的求解.邊界層速度側(cè)形的確定大量的實驗觀察和測量表明,平板層流邊界層的速度側(cè)形可以用n次多項式函數(shù)逼近，即：待定系數(shù)，利用速度側(cè)形在邊界層上所滿足
6、發(fā)、的條件確定平板壁面上邊界層的近似解由于在邊界層外緣處邊界層內(nèi)的速度與外部來流速度相銜接，所以速度側(cè)形在邊界層外部邊界滿足的條件為：平板壁面上邊界層的近似解速度側(cè)形在壁面滿足的條件為：粘性流體在壁面上滿足不滑脫條件，即：其次，在壁面處的普蘭德方程為：平板壁面上邊界層的近似解將普蘭德邊界層方程對y求偏導數(shù)有：對不可壓縮流體，在壁面處有：平板壁面上邊界層的近似解同樣可以考察更高階導數(shù)在壁面處也存在上述情況：因此速度側(cè)形在壁面處滿足的條件為：為了確定速度側(cè)形多項式中的待定系數(shù)，可以從上述的邊界條件中選取n+1可最重要的邊界條件，得到含有n+
7、1和待定系數(shù)的多項式代數(shù)方程組，求解該方程組就可以得出速度測形的待定系數(shù)，進而獲得速度側(cè)形的具體函數(shù)關(guān)系。平板壁面上邊界層的近似解以1次至4次多項式為例說明求解過程線性多項式：滿足邊界條件為：代入后獲得速度側(cè)形為：平板壁面上邊界層的近似解二次多項式：選擇3個邊界條件：速度側(cè)形為：平板壁面上邊界層的近似解三次多項式滿足邊界條件：速度側(cè)形為：平板壁面上邊界層的近似解四次多項式：滿足邊界條件速度側(cè)形為：平板壁面上邊界層的近似解利用三次多項式速度側(cè)形求解邊界層動量方程：將速度側(cè)形代入邊界層積分動量方程有：積分后有：平板壁面上邊界層的近似解將壁面
8、剪切應力用牛頓粘性定律代入有：將上式代入后化簡得到：在邊界條件（x=0,δ=0)條件下積分有：平板壁面上邊界層的近似解將前式寫為無因次形式：其中：平板壁面上邊界層的近似解確定流體沿壁面流動的摩擦曳力：先求局
