圓錐曲線定點定值定直線問題.doc

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1、一、【定點問題－－－曲線（含直線）過定點問題】：法1：特值法－－通過特例（參數(shù)取殊值、曲線的特殊位置、極限位置）探求出定點，再證明.法2：參數(shù)法－－把曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，另一端按參數(shù)進行整理，如，這個方程就要對任意參數(shù)恒成立，則方程組解所確定的點為曲線所過的定點．例1：試證明：直線過定點.證明：法1（特值法）：令得：，令得：，由得：；當(dāng)時，方程左邊右邊，直線過定點.法2（參數(shù)法）由得：解得：；直線過定點.例2:已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓過點，直線交軸于，且為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的上

2、頂點，過點分別作出直線交橢圓于兩點，設(shè)這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點．（1）解：，，，，，解得，橢圓方程為(2)證明：設(shè)方程為，代入橢圓方程得：，∴，，∴代入得：即∴直線必過定點．【練習(xí)】：1.(17課標(biāo)1理20)已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.2.已知點是橢圓上任一點，點到直線的距離為，到點的距離為，且.直線與橢圓交于不同兩點（都在軸上方），且.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點時，

3、求直線方程；（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出該定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.3.（成都七中17-18高二上期中考）已知斜率為的直線經(jīng)過點與拋物線（為常數(shù)）交于不同的兩點，當(dāng)時，弦的長為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線交拋物線于另一點，且直線經(jīng)過點，判斷直線是否過定點？若過定點，求出該點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.4.(16廣州模擬)橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,左頂點為,左焦點為，點在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點,直線,分別與軸交于點,．(1)求橢圓的方程;(2)以為直徑的

4、圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由.5.(17南昌摸底)橢圓短軸的一個端點與其兩個焦點構(gòu)成面積為3的直角三角形.(1)求橢圓的方程;（2）過圓上任意一點作圓的切線，與橢圓交于兩點，以為直徑的圓是否過定點，如過，求出該定點；不過說明理由.6.(15四川理20)如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；(2)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在與點P不同的定點Q,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.7.已知平

5、面上的動點及兩定點，直線的斜率分別為，且.（1）設(shè)動點R的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；(2)四邊形MNPQ的四個頂點均在曲線C上,且MQ∥NP,MQ⊥x軸,若直線MN和直線QP交于.問：四邊形MNPQ兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【練習(xí)答案】1.解:(1)由于,兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過,.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，若l與x軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知：，可得A，B的坐標(biāo)分別為.則，解得：，不符合題意.從而可

6、設(shè)，代入得：，由題設(shè)知.設(shè)，則=，=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時,，，即，過定點2.解：（1）設(shè)，則，，∴，化簡，得，∴橢圓的方程為.（2），，∴，又∵，∴，.代入，解得(舍去)或∴，，∴直線方程為.（3）∵，∴.設(shè)，的方程為.代入，得.∴，，∴=，∴∴，∴直線的方程為，∴直線總經(jīng)過定點.3.解：（1）當(dāng)時，的方程為，即，設(shè)，由得：，則，由得：，解得：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)由(1)可設(shè)，則，則；同理：；.由在直線上得：；由在直線上得：將(1)代入(2)上得：,將(3)代入方程得：，即,可得出直線過定點．4.解:(1)設(shè)橢圓的方程為

7、，因為橢圓的左焦點為，所以…①因為點在橢圓上，所以…②．由①②解得，，．所以橢圓的方程為．(2)由已知得：,E、F關(guān)于原點對稱，設(shè)，則.由得：,直線AE的方程為：令得，即點．同理可得點．．設(shè)的中點為，則點的坐標(biāo)為．則以為直徑的圓的方程為，即．令,得,即或.故以為直徑的圓經(jīng)過兩定點，．5.解:（1）因為橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形，所以,故橢圓的方程為，（2）圓的方程為,設(shè)為坐標(biāo)原點當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)直線AB方程為，則，所以，所以為直徑的圓過坐標(biāo)原點當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,設(shè),由與圓E相切得:由得,即,,且，，

8、所以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點.6.解:(1)由已知得：點在橢圓E上，故解得.所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線平行與軸時，設(shè)直線與橢圓E相交于C、D兩點，若存在定點Q滿足