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1、§3.10~3.11取樣與取樣定理連續(xù)離散取樣還原(有條件)取樣時域頻域自然取樣理想取樣(矩形取樣)(沖激取樣)低通(掌握)帶通(3-42)(了解)模擬語音信號輸入反混迭失真濾波器取樣量化碼化器A/DPCM數(shù)字語音信號輸出pulsecodemodulation(PCM)Mpegaudiolayer3(mp3)數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡單框圖一.取樣的目的及所遇到的問題問題:1)取樣后離散信號的頻譜是什么樣的？它與未被取樣的連續(xù)信號的頻譜有什么關(guān)系？2)連續(xù)信號被取樣后，是否保留了原信號的所有信息？即在什么
2、條件下，可以從取樣的信號還原成原始信號？二.時域抽樣抽樣過程可以看成由原信號f(t)和一個開關(guān)函數(shù)p(t)的乘積來描述。1)矩形脈沖的抽樣(自然抽樣)此時的抽樣脈沖p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)抽樣信號在抽樣期間脈沖頂部隨f(t)變化，故這種采樣稱為“自然抽樣”。時域抽樣簡圖連續(xù)信號f(t)抽樣脈沖p(t)抽樣信號量化編碼數(shù)字信號*抽樣信號頻譜推導(dǎo)：令模擬帶限信號傅立葉變換為,即抽樣脈沖序列的傅立葉變換為設(shè)抽樣為均勻抽樣，周期為Ts，則抽樣角頻率為由于p(t)是周期信號，可知p(
3、t)的傅立葉變換為:其中(參看p157.3-100)由頻域卷積定理得，時域相乘的傅立葉變換等于它們的頻譜在頻域里相卷積。把計算出的代入上式得：上式表明:信號在時域被抽樣后，它的頻譜是連續(xù)信號的頻譜以抽樣頻率角為間隔周期地重復(fù)而得到的。在重復(fù)過程中，幅度被抽樣脈沖p(t)的傅立葉系數(shù)所加權(quán)，加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀。(p157圖3－50)由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。從的頻譜圖可見抽樣后的信號頻譜包括有原信號的頻譜以及無限個經(jīng)過平移的原信號的頻譜，平移
4、的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。(1)如果抽樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時間常數(shù)相比十分小的時候，這個沖激函數(shù)的假定將是一個很好的近似，它將使分析簡化。(2)通過沖激抽樣的方法來表明數(shù)字信號在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應(yīng)用。(點抽樣；均勻抽樣)結(jié)語：抽樣率必須選得大于信號頻譜最高頻率的兩倍。２）沖激抽樣(參看p157)若抽樣脈沖是沖激序列，此時稱為“沖激抽樣”或“理想抽樣”。設(shè)Ts為抽樣間隔，則抽樣脈沖為由于?T(t)的傅立葉系數(shù)為:所以沖激抽樣信號的頻譜為：上式
5、表明：由于沖激序列的傅立葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以是以為周期等幅地重復(fù)，如下圖所示：抽樣前信號頻譜抽樣后信號頻譜下面對矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進行比較和小結(jié)：時域理想抽樣的傅立葉變換FT相卷積FT關(guān)于非理想抽樣理想抽樣非理想抽樣唯一唯一*結(jié)語f.不滿足抽樣定理時產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象設(shè)有一連續(xù)信號f(t)，它的頻譜則只要抽樣間隔滿足，連續(xù)信號f(t)就可表示為：三.抽樣定理(定理一)Fs(w)證明：由于f(t)的頻帶有限,而時域抽樣必導(dǎo)致頻域周期。在周期重復(fù)時，為保證內(nèi)為，則重復(fù)周期應(yīng)滿足,將抽樣信號通過截止
6、頻率為的理想低通濾波器，便能從中恢復(fù),也就是說，能從抽樣信號fs(t)中恢復(fù)復(fù)原始信號f(t)。設(shè)、,則當(dāng)通過截止頻率為的理想低通濾波器時，濾波器的響應(yīng)頻譜為，顯然濾波器的作用等效于一個開關(guān)函數(shù)同的相乘。由時域卷積定理知：由傅立葉變換的對稱性可知：而則（內(nèi)插公式）?證畢?上式表明f(t)可以展開為正交的抽樣函數(shù)的無窮級數(shù)。且級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值f(nTs),這樣，若在抽樣信號fs(t)的每個抽樣值上畫一個峰值為f(nTs)的Sa函數(shù)的波形，合成的波形就是f(t).另外，我們知道：Sa函數(shù)的波形就是
7、理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)，這樣，若fs(t)通過理想低通濾波器，那么每一個抽樣值產(chǎn)生一個沖激響應(yīng)h(t)，這些響應(yīng)進行疊加便得到f(t)，從而達(dá)到恢復(fù)信號的目的。Tsfs(t)Tsh(t)Tsf(t)卷積1H(w)相乘由抽樣信號恢復(fù)原連續(xù)信號取主頻帶：時域卷積定理：定理二：設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號，最高頻率為,根據(jù)定理一對f(t)進行抽樣，得f(nT)，則f(nT)經(jīng)過一個頻率響應(yīng)為如圖的理想低通濾波器后便得到f(t).(自證)H(jw)wwc-wc10由于定理二是討論由離散信號恢復(fù)成連
8、續(xù)信號，所以又稱重建定理。三.頻域抽樣但反之不一定成立如：白噪聲時域抽樣與頻域抽樣的對稱性頻域有限時域無限時域有限頻域無限f(t)以ws為周期重復(fù)f(t)以T為周期重復(fù)*頻域抽樣定理若信號為時限信號，它集中在的時間范圍內(nèi)，若在頻域中，以不大于的頻率間隔對的頻譜進行抽樣，則抽樣后的頻譜可以唯一地表示原信號。根據(jù)時域和頻域?qū)ΨQ性，可推出頻域抽樣定理偶函數(shù)變量置換*頻域抽樣后的時間函數(shù)相乘卷積抽樣定理小結(jié)時域?qū)Τ闃拥刃в陬l域?qū)χ貜?fù)時域抽樣間隔不大于。頻域?qū)Τ闃拥刃в跁r域?qū)χ貜?fù)頻域抽樣間隔
