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《《數(shù)值分析與算法》第七講數(shù)值積分與數(shù)值微分ppt課件.pptx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、數(shù)值分析(7)NumericalAnalysisWenjianYu2第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分WenjianYu3數(shù)值積分的基本概念WenjianYu4數(shù)值積分目的與用途經(jīng)典問(wèn)題:算幾何形體的面積、體積，力學(xué)中物體的重心位置例:鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問(wèn)題由一塊平整的鋁板壓制而成.若每個(gè)波紋的高度(自中心線)為1英寸,周期為2?英寸,做4英尺長(zhǎng)波紋瓦需多長(zhǎng)鋁板?第二類(lèi)橢圓積分,無(wú)法解析求出!WenjianYu5數(shù)值積分基本思想...積分系數(shù)積分節(jié)點(diǎn)希望用較少的計(jì)算量得到較準(zhǔn)確的結(jié)果WenjianYu6插值型求積公式中矩形公式梯形公式WenjianYu7積分余項(xiàng)與代數(shù)精度反映了計(jì)算的截?cái)嗾`差插
2、值余項(xiàng)的積分衡量求積公式準(zhǔn)確度的另一個(gè)指標(biāo)注意:對(duì)某些情況，代數(shù)精度并不是越高越好WenjianYu8積分余項(xiàng)與代數(shù)精度(至少0次代數(shù)精度)它至少有n次代數(shù)精度即插值型可推廣WenjianYu9積分余項(xiàng)與代數(shù)精度WenjianYu10求積公式的收斂性與穩(wěn)定性(一系列求積公式的性質(zhì))積分問(wèn)題一般不太敏感WenjianYu11求積公式的收斂性與穩(wěn)定性這是控制數(shù)值計(jì)算誤差能達(dá)到的最佳情況要盡量尋求穩(wěn)定的公式(估計(jì)截?cái)嗾`差)WenjianYu12牛頓-柯特斯公式WenjianYu13Newton-Cotes公式這就是n階牛頓-柯特斯公式n=1,1/2,1/2n=2,1/6,2/3,1/6n
3、=4,7/90,16/45,2/15,16/45,7/90Cotes系數(shù)表一系列求積公式便于使用WenjianYu14Newton-Cotes公式n=1,1/2,1/2n=2,1/6,2/3,1/6n=4,7/90,16/45,2/15,16/45,7/90n=8,Cotes系數(shù)表思考題梯形公式Simpson公式Cotes公式中矩形公式可看成是n=0時(shí)的特例WenjianYu15Newton-Cotes公式(最準(zhǔn)確)WenjianYu16Newton-Cotes公式關(guān)鍵看積分:(n階公式至少有n次代數(shù)精度)一般不用n=3對(duì)應(yīng)的N-C公式WenjianYu17低階N-C公式的積分余項(xiàng)
4、不保號(hào),無(wú)法用積分中值定理2詳細(xì)過(guò)程看書(shū)pp.246WenjianYu18穩(wěn)定性、收斂性n=8,實(shí)際只使用n<8的偶數(shù)階N-C公式(代數(shù)精度不是越高越好)WenjianYu19復(fù)合求積公式WenjianYu20復(fù)合求積公式(compositequadrature)積分誤差:n增大,誤差減小仍是“機(jī)械求積公式”WenjianYu21復(fù)合求積公式2階準(zhǔn)確度WenjianYu22復(fù)合求積公式與復(fù)合梯形公式對(duì)比,看例7.4WenjianYu23復(fù)合求積公式步長(zhǎng)折半的復(fù)合求積公式計(jì)算積分余項(xiàng)公式包含被積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),很難應(yīng)用.常常動(dòng)態(tài)地確定步長(zhǎng)h常用的動(dòng)態(tài)減小步長(zhǎng)策略是:步長(zhǎng)折半,利用已算
5、出的結(jié)果復(fù)合梯形公式的情況遞推化的復(fù)合梯形公式:(逐漸減小,直到滿(mǎn)足精度要求)只需再計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值WenjianYu24復(fù)合求積公式步長(zhǎng)折半的復(fù)合求積公式計(jì)算復(fù)合Simpson公式的情況很少使用中矩形公式的原因與梯形公式有相同的代數(shù)精度/準(zhǔn)確度,計(jì)算量更小可類(lèi)似構(gòu)造復(fù)合中矩形公式,但在步長(zhǎng)折半時(shí),無(wú)法重用以前的結(jié)果WenjianYu25Remberg積分算法WenjianYu26復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)展開(kāi)式Th7.5所有小區(qū)間的積分求和:WenjianYu27復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)展開(kāi)式Th7.5所有小區(qū)間乘h/2求和:WenjianYu28RichardsonExtrapolati
6、on(“0”代表未經(jīng)外推的原始公式)更準(zhǔn)確的值!WenjianYu29RichardsonExtrapolationWenjianYu30Romberg算法龍貝格算法列三角形表格,按行依次計(jì)算計(jì)算公式可證明:具有2k+1次代數(shù)精度(類(lèi)似高階差商的計(jì)算)WenjianYu31Romberg積分算法基于等距分布的積分節(jié)點(diǎn),得到穩(wěn)定、準(zhǔn)確的積分結(jié)果要求被積函數(shù)充分光滑!WenjianYu32Romberg算法011/80.99739781/40.98961583/80.97672671/20.95885115/80.93615563/40.90885177/80.877192610.84
7、1471010.92073551/20.93979330.94614591/220.94451350.94608690.946083001/230.94608330WenjianYu33Romberg算法10.5000001/20.4267770.4023691/220.4070180.4004320.4003021/230.4018120.4000770.4000540.4000501/240.4004630.4000140.4000090.4000090.4000
