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《第10講-隨機過程：維納辛欽、希氏變換、高斯白噪聲.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、隨機過程各態(tài)歷經(jīng)性所謂各態(tài)歷經(jīng)就是從隨機信號的一次觀測記錄（一個樣本函數(shù)）就可以估計其統(tǒng)計量，也稱遍歷性令x(t)為X(t)的一個樣本函數(shù)，其時間平均值樣本函數(shù)的時間平均自相關函數(shù)為對于平穩(wěn)隨機信號X(t)，若其所有樣本函數(shù)在某一固定時刻的一階和二階統(tǒng)計特性與單一樣本函數(shù)在長時間內的統(tǒng)計特性一致，則稱X(t)為各態(tài)歷經(jīng)信號基本含義：單一樣本函數(shù)隨時間變化的過程可以包括該信號所有樣本函數(shù)的取值經(jīng)歷信號間的三種關系：1.獨立。若：2.不相關。若：3.正交。若：功率譜密度函數(shù)對于任意信號x(t)，定義信號的能量和功率：帕薩伐爾定理：上述過
2、程即為帕薩伐爾定理或瑞利能量定理，即：在頻域和時域上對同一信號所求的能量相等則：兩邊取期望：則定義：為隨機過程X(t)的平均功率譜密度函數(shù)將式代入上式整理：由平穩(wěn)隨機過程可知令當時，趨近于1，可由上式可得到：由傅立葉變換公式可知隨機過程X(t)的自相關函數(shù)和功率譜密度函數(shù)是一對傅立葉變換對，描述了隨機過程X(t)的時域與頻域統(tǒng)計規(guī)律之間的關系，此為維納辛欽定理功率譜密度函數(shù)的物理意義：1.從統(tǒng)計的角度，隨機信號的功率在各個頻率點上分布情況；2.在每個時刻都表現(xiàn)為互不相同的時間函數(shù)，因此不能簡單的用傅立葉變換分析隨機信號性質：1.是非
3、負的；2.是實的；3.是偶函數(shù)例如：已知，其中為常數(shù)，為均勻分布的隨機變量，概率密度如下，求根據(jù)維納辛欽定理，對相關函數(shù)做傅里葉變換再例如：設平穩(wěn)過程X(t)的相關函數(shù)為，求其功率譜密度希爾伯特變換定義：令f(t)為實函數(shù)，則稱為f(t)的希爾伯特變換，記為：稱為g(t)的希爾伯特反變換，記為：對于希爾伯特變換又可記為卷積形式：從希爾伯特變換的定義，可以將希爾伯特變換的結果看成是輸入為f(t)的線性時不變系統(tǒng)的輸出希爾伯特變換等效系統(tǒng)頻域變換上圖中LTI系統(tǒng)的沖激響應的傅里葉變換即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其中為符號函數(shù)，即：則系統(tǒng)函數(shù)為：希
4、爾伯特變換的物理意義是將信號f(t)的所有頻率成分都相移π/2，而幅度保持不變。具有這種特性的電路稱為希爾伯特濾波器希爾伯特變換的性質若f(t)為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；反之亦然，即f(t)與相互正交解析信號定義：令有實信號f(t)，則稱復信號：為f(t)的解析信號（或預包絡）解析信號的性質：令，則有解析信號的能量等于實信號能量的兩倍令和為解析信號，則有：根據(jù)，可以得出：例如：已知求和它的解析信號對于積分困難的變換，可以通過計算頻域函數(shù)的方法來迂回求解查表可得：例解：仍利用頻域函數(shù)來求解。由頻域搬移性可知：于是這不是一個常用的函數(shù)，所以
5、無法通過查表而只能來做它的付氏反變換。1.余弦函數(shù)的希氏變換為正弦函數(shù)；2.低通信號與余弦函數(shù)乘積的希氏變換為該函數(shù)與正弦函數(shù)的乘積。結論：平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程Y(t)的均值（統(tǒng)計平均）可以看出隨機過程Y(t)的均值與t無關隨機過程Y(t)的自相關函數(shù)可以看出Y(t)的自相關函數(shù)與t無關X(t)和Y(t)的互相關函數(shù)與互功率譜密度由維納辛欽定理可知：Y(t)的功率譜密度令對于希爾伯特變換與X(t)的互相關函數(shù)高斯白噪聲令n(t)為高斯隨機過程，若其功率譜密度則稱n(t)為高斯白噪聲其數(shù)學期望為0其
6、自相關函數(shù)為：n維概率密度滿足n維正態(tài)分布的隨機過程；高斯過程的款平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)一致性質：1.若，其中為確定信號，則X為高斯隨機變量，數(shù)字期望為0，方差等于：2.若，；其中，為確定信號，則：若與在（0~T）時間間隔內正交，即:則：與統(tǒng)計獨立3.限帶高斯白噪聲，其功率譜密度為：其相關函數(shù)：十一、窄帶平穩(wěn)隨機過程定義：令X(t)為平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度形狀如圖所示若，則稱X(t)為窄帶平穩(wěn)隨機過程窄帶隨機過程的表達式窄帶隨機過程可以用下式表示其中:稱作X(t)的包絡函數(shù);稱作X(t)的隨機相位函數(shù)寫成同向分量和正交分量的形式令：其中稱
7、作X(t)的同相分量;稱作X(t)的正交分量、、、為隨機過程
