等價(jià)無窮小量替換定理.docx

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1、頁眉§2–6無窮小與無窮大的比較基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)1、無窮小的比較定義1設(shè)α、β是某一極限過程中的兩個(gè)無窮小,若limc(c為常數(shù))則(1)當(dāng)c≠0時(shí),稱在此極限過程中β與α是同階無窮?。唬?)當(dāng)c=0時(shí),稱在此極限過程中β是α的高階無窮小,記作β=o(α)(讀作小歐α);(3)當(dāng)c=1時(shí),稱在此極限過程中β與α是等價(jià)無窮小,記作β~α。2、無窮大的比較定義2設(shè)Y、Z是同一極限過程中的兩個(gè)無窮大量,(1)如果Z=c0Ylim與Z是同階無窮大量;Y≠,則稱(2)如果limZ=∞時(shí),則稱Z是Y的高階無窮大

2、量;Y(3)如果limZ=c≠(0k>0),則稱Z是關(guān)于(基本無窮大量)Y的k階無窮大量。Yk3、無窮小的階與主部定義3把某極限過程中的無窮小α作為基本無窮小,如果β與k(k>0)是同階的無窮小,即limk=c≠,0則稱β是關(guān)于α的k階無窮小。重點(diǎn)難點(diǎn)突破1.關(guān)于無窮小的比較要確定兩個(gè)無窮小量是同階、高階和等價(jià)的關(guān)系,其實(shí)就是求這兩個(gè)無窮小量比的極限,再根據(jù)定義判斷兩個(gè)無窮小的關(guān)系。注意(1)符號(hào)β=O(α)與β~α的含義β=O(α)表示β是α的高階無窮小,即lim0;β~α表示β與α是等價(jià)無窮

3、小,即lim1(1)同階不一定等價(jià),等價(jià)一定同階。(2)利用等價(jià)無窮小求極限等價(jià)無窮小在求極限的過程中可以進(jìn)行如下替換:若α~αˊ,β~βˊ,且lim存在,則lim=lim無窮小量的比較表設(shè)在自變量xx0的變化過程中,(x)與(x)均是無窮小量無窮小的比較定義記號(hào)1/3頁眉(x)是比(x)高階的無窮小lim(x)0(x)(x)(x)xx0(xx0)(x)與(x)是同階的無窮小lim(x)C(C為不等于零的常數(shù))(x)xx0a(x)與(x)是等階無窮小lim(x)1(x)~(x)xx

4、0a(x)(xx0)2.關(guān)于無窮小的階當(dāng)x→0時(shí),由恒等式(ⅰ)o(xn)+o(xm)=o(xn)0<n<m(ⅱ)o(xn)o(xm)=o(xm+n)m>0,n>03.關(guān)于無窮小的替換定理設(shè)當(dāng)xx0時(shí),1(x)~2(x),1(x)~2(x),lim2(x)存在,則lim1(x)2(x).xx02(x)xx01(x)2(x)解題方法指導(dǎo)1.判斷無窮小的階有以下幾種方法(僅供參考):例1當(dāng)x→0時(shí),下列無窮小量是x的幾階無窮?、賦-3x3+x5②sinxtgx解:①因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),在x-3x3+x5

5、中3x3與x5都是x的高階無窮小,由恒等式(?。﹍imx3x3x51x0x所以,當(dāng)x→0時(shí),x-3x3+x5是x的一階無窮小②因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),sinx~x,tgx~x,由恒等式(ⅱ)可得sinxtgx1sinxtgx=o(x2),即limx2x0所以,當(dāng)x→0時(shí),sinxtgx是x的二階無窮?。?)先將原式變形,再判斷階數(shù)例2當(dāng)x→0時(shí),下列無窮小量是x的幾階無窮小①1x1x②tgx–sinx解:①通過分子有理化將原式變形1x1x=2x1x1x由此看出,當(dāng)x→0時(shí),1x1x是x的一階無窮小,事實(shí)

6、上lim2x1x1x)x0x(1②通過三角函數(shù)的公式將原式變形2/3頁眉sinxsinx(1cosx)tgxsinxsinxcosxcosx因?yàn)閟inx~x,1-cosx~1x22由此看出,當(dāng)x→0時(shí),tgx–sinx是x的三階無窮小,事實(shí)上sinx(1cosx)x?1x21lim2lim3?cosx3?cosx2x0xx0x此題錯(cuò)誤解法:解:因?yàn)閘imtgxsinxlimtgxsinx0x0xx0xx所以,當(dāng)x→0時(shí),tgx–sinx是x的一階無窮小這種解法是錯(cuò)誤的,因?yàn)橛蔁o窮小階的定義,β與

7、k比的極限不能為零。2.利用等價(jià)無窮小代換求極限常用等價(jià)無窮小有:當(dāng)x0時(shí),x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1,1cosx~1x2,2x~sin2x~tan2x.2例5求下列函數(shù)的極限1cosx,(2)limtanxsinx(1)lim3x2x3.x0x0(1)lim11x210,1cosx~1x2).解cosx=lim2(xx03x2x03x262(2)limtanxsinx=limsinx(1cosx)sin3xx3cosxx0x0limsinx(1

8、cosx)1xx2cosxx02sin2x=limx22x0=1(x0,sin2x~x2222).小結(jié)利用等價(jià)無窮小可代換整個(gè)分子或分母,也可代換分子或分母中的因式,但當(dāng)分子或分母為多項(xiàng)式時(shí),一般不能代換其中一項(xiàng)。否則會(huì)出錯(cuò).如上題limtanxsinxlimxx0,即得一錯(cuò)誤結(jié)果.x0sin3xx0x33/3

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