大學(xué)課件 高等數(shù)學(xué) 下學(xué)期 7-3（全微分及其應(yīng)用）.ppt

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1、1/27一、全微分的定義二、全微分存在的必要條件第三節(jié)全微分及其應(yīng)用三、全微分存在的充分條件四、小結(jié)2/27函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí)函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來(lái)討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)3/27先來(lái)介紹全增量的概念為了引進(jìn)全微分的定義,全增量.域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量全增量.一、全微分的定義4/27全微分的定義處的全微分.可表示為可微分,在點(diǎn)則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí),則稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于在5/27注全微分有類似一元函數(shù)微分的兩個(gè)性質(zhì):的線性函數(shù);高階無(wú)窮小.全微分的定義可推廣到三元及三

2、元以上函數(shù).6/27二、全微分存在的必要條件由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)連續(xù)的定義不連續(xù)的函數(shù)如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).一定是不可微的.定理1證.7/27定理2(可微的必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為證.總成立,如果函數(shù)可微分,8/27同理可得上式仍成立,此時(shí)9/27如，二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)10/27則說(shuō)明它不能隨著而趨于0,因此,如果考慮點(diǎn)沿直線趨近于各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.說(shuō)明11/27證在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.定

3、理3(今后常這樣理解).用微分中值定理(可微分的充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)三、全微分存在的充分條件12/2713/27同理14/27記全微分為通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.一元函數(shù)的許多微分性質(zhì),(一階)全微分形式的不變性.同樣有:習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．這里仍適用.如三元函數(shù)則15/27解.例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)的全微分.所以16/27解.例2.17/27解.例3.計(jì)算的近似值.利用函數(shù)在點(diǎn)處的可微性,可得18/271、考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條

4、性質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,④f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“　　　”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.練習(xí)題19/27連續(xù).D結(jié)論不正確的是().都存在,2、20/27D3、21/274、是非題(非)事實(shí)上,22/27全微分的定義全微分的計(jì)算多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)四、小結(jié)可微分的必要條件、可微分的充分條件23/27對(duì)一元

5、函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù)有極限有偏導(dǎo)24/27在原點(diǎn)(0,0)可微.并非必要條件.如事實(shí)上,注兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)可微的充分僅是函數(shù)在點(diǎn)條件,25/27于是,同樣,26/27即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)(0,0)可微.但是,事實(shí)上,偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).特別是不存在.即fx(x,y)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).極限fy(x,y)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).同理可證,