不等式中等號成立條件的解題功能

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1、2009年第48卷第4期數(shù)學通報41不等式中等號成立條件的解題功能——兼談對稱思想王文清(山東省濱卅I市教研室256618)大家都知道，基本不等式中的等號，當且僅當~／)≤專(+zz+zs+?+z)+諸數(shù)都相等時成立。事實上，我們遇到的要證明的絕大多數(shù)不等式的條件與結論都是關于所含字(+)一1++1一+1．母的輪換對稱式，這就預示著這些字母在解題中所以，、／／可+、／／可+~／_二f可+?+的地位是相同的，因此，當它們取值相同時，等號可能成立。于是，可以先猜測并驗證要證明的不等~／=≤、／／F．式中等號成立的條件，然后，結合已知條件，通過拆以下兩題可

2、供練習添項、配湊等手段構造一系列基本不等式，最后通題1設口，b，c均為正數(shù)，且a+b+c一1，過同向不等式的運算給出證明。下面舉例說明。求證：而+、F『+一<_．例1已知口，b，C∈R+，n。+b。+C。一24，求題2設a，b，C均為正數(shù)，且a+b+c一3，證：＆+6+c≤6．求證：~／了+~／可+~／麗≤3證明當n一6一f一2時，滿足a。+b。+C。一例3已知口，n2，?，n均為正數(shù)，且口1+24，且要證的不等式中的等號成立，于是想到構造+?+一1，求證：—L+阜+?+以下的三個不等式：口1-Fn2口2-1-3口+2。+2。≥12a，b。+2。+2

3、?！?2b，f。+2。+≥．2?！?2c．將以上三個不等式相加，得n。+b。+C。+6×證明當。一。一．一。一時，滿足題設2?！?2(口+6+c)，即日+b+c≤6．條件且要證的不等式中等號成立，此時，—_一a11_口’例2設z>0(i一1，2，3，?，)，且zl+．322ax，+。+?+一1，求證：~／z+1+~／z+1+，、注意到運用基本不等式時，要盡可能消去分母~／z。+1+?+~／z+1≤~／(+1)．中的口+。，且要保證與車a一相等，又注意1．f_a2證明當1一z2一3一·．27一時，滿足題到n一az一·一a，為此對此項配湊一項絲．設條件且

4、要證的不等式中等號成立，于是想到構其余類似．造以下不等式：因n，nz，?，均為正數(shù)，故竿+≥√·√+1≤1(z+1++)一+≥?，aZ．十,丁a．-~-a．≥專z+f1+)，(一1，2，3，?，)口’1Ia乜_r_al又因++?+一1(a在上式中，令i一1，2，3，?，，z并相加，得+-az+?+口)一1-√吉+1·(~／可+~／可+~／可+?+，42數(shù)學通報2009年第48卷第4期所以，把以上各同向不等式相加，得次方，故想到給原不等式左邊每一項配上網(wǎng)壩，這+?+1兩項的值當z——一1時等于1，且能通過不+?+口===1．等式變換消去原項分母中的(1

5、+)(1+)，或(1+z)(1+2)，或(1+)(1+)．為此對原不等式故+?≥左邊第一項配湊—l+y+Tl+z，其余類似，并要注例4設“，b，c為正數(shù)且滿足abc一1，試證：意利用條件xyz=1．n。麗(61+f)十(c1+n)+。C。(n+6)≥號2．一(第36++≥3一3x屆IMO試題)(1十v)(1+)。8。8^√644，證明容易猜想n—bC1時，原不等式即≥．等號成立，這時1同理，≥，口。(b+c)b。(c+n)C。(a+6)0’。6x-x-一2＼考慮到“≥”在基本不等式中表現(xiàn)為“和”與(1+v)(1+z)，／8?！胺e”的變換，故想到給原不

6、等式左邊每一項配上將以上三式相加，得項，這一項的值當“一b一一1時等于1一，且能一-一_蘭(1十)(1+)。(1+)(1+)’(1+z)(1+)通過不等式變換消去原項分母中的b+c，C+n，a+6，并要注意利用條件abc=1．≥學一導≥_妻_一3=：=3一3一3．例6已知∈(一2，2)，y∈(一3，3)，且因為L_+≥一，一一1，求函數(shù)“一+的最小值．同理，+≥，【_+≥÷．解析由于本題條件式中的z，Y具有對稱將以上三式相加，并整理，得性，而結論中的z，Y卻不具有對稱性，這一不協(xié)調促使我們想：能否使結論中的95"，Y也具有對稱性?為此作以下轉化，函數(shù)

7、“一≥+一+一—一．一(專)一(詈)。從而原不等式獲證．例5設z，Y，2是正實數(shù)，且2—1，證明設n一(專)。，6一(詈)，則問題轉化為：已知一一(1+)(1+)。(1+lz)(1+)。(1+z)(1+)0

8、4‘(1-b)，然后分別用基本不等式放縮．考慮到“≥”在基本不等式中表現(xiàn)為“和”與因為+36(1一n)≥13