例談“三角換元法”在解題中的應(yīng)用

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1、28數(shù)學(xué)通訊一20l4年第ll期(下半月)·解題方法-證明設(shè)一”警十i，則等價(jià)于證明cos+COS20題(求值：c。s-COS各+c。s-COS箬+57c、十?十c0s，z臼一一．由前文知，。可‘l+cos#+cos20~?+COSnO1-cos0-cos(nq-1)0-t-cosn0參考文獻(xiàn)：=：——．—————————————————．．—————————————．．——————————————2-2cos0[1]程漢波，楊春波．配以對(duì)偶，柳暗花明——由一道試題2丌2(+】)7c．2nn一。一。?！皇—2的“特別獎(jiǎng)”解法引發(fā)的思考[j]．?dāng)?shù)學(xué)通訊(下半月)，

2、n+—l2012(12)，24—26．2～2c。s[2]林晨曦．把實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)以后[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1980(6)，14一l5．．27c．7c7r一。。gX-$~十。。?！！?n+—11[3]鄒慧群．把《實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)以后》的兩點(diǎn)補(bǔ)充[J]．天一—————2(————■——～一，津教育，1981(7)，24—25．1-COS)[4]劉敏思，歐陽(yáng)露莎．復(fù)變函數(shù)論[M]．武昌：武漢大學(xué)出版社，2010．所以，cos0+cos20+?+cosn0=一告，得證．[5]潘圣榮．復(fù)數(shù)在三角級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，注：特別地，取一3，即可得到第5屆IMO試l982(5

3、)，l8．題(證明：c。s號(hào)一c。s+cOs了3n=IJ．；取n一5，即(收稿日期：2014—05—08)可得到2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省預(yù)賽第3例談“三角換元法"在解題中的應(yīng)用王耀(江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，215006)換元思想是一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想方法，本文主n十6+f=r(sin0+cos0)+C要討論三角換元法在解題中的應(yīng)用，這一解法多應(yīng)一sin(十{)+c，用于解決函數(shù)或不等式的最值問(wèn)題，是實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的一種有效轉(zhuǎn)化策略．正因?yàn)榇朔ǖ膹V泛應(yīng)用價(jià)由sin(十號(hào))∈[～1，1]可知“+6+c∈[一√r值，筆者將利用這種方法再來(lái)分析文中的幾個(gè)高考+f，

4、√+c]．或競(jìng)賽試題，與讀者交流，歡迎批評(píng)指正．例1(南通市2O14屆高三第二次調(diào)研，2013因?yàn)閛≤r≤≤1，那么√十c≤1+√，當(dāng)且僅年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽)若實(shí)數(shù)n，b，C當(dāng)“一6一,／g，c=l時(shí)，等號(hào)成立；滿(mǎn)足“。+b≤c≤1，求“+b+C的最大值和最小值．分析此題設(shè)計(jì)精巧，可以從多角度研究，思維又一r+c≥一+：一分析切口較寬，解法也較多．然而，根據(jù)題中條件的結(jié)構(gòu)特征，可考慮利用圓面的參數(shù)方程，即“三角換1一當(dāng)且僅當(dāng)“===6：一1，，c==：時(shí)，等號(hào)成立．元”的數(shù)學(xué)思想方法．解析設(shè)n=TCOSO，b=rsin0，其中∈R，0≤r因此，a+b十C的

5、最大值為1+√，最小值為c≤1，則19。-解題方法·數(shù)學(xué)通訊一2014年第l1期(下半月)29例2(2013年浙江大學(xué)自主招生試題)若X綜上可知，n+6≥·+2—。一7(z，∈R)，則X+Y的最小值為點(diǎn)評(píng)三角換元在這里再一次體現(xiàn)了它的超強(qiáng)分析此題為二元二次方程中的最值問(wèn)題，常實(shí)用性，利用公式““sin+bcos0=、sin(臼+規(guī)解法可對(duì)條件進(jìn)行配方后三角換元，或進(jìn)行構(gòu)建)”將問(wèn)題轉(zhuǎn)為不等式問(wèn)題，這些過(guò)程充分體現(xiàn)了齊次式求解，但是這兩種解法都需要較強(qiáng)的計(jì)算基數(shù)學(xué)解題思維的“通法自然化”．本功．為此，筆者嘗試對(duì)結(jié)論中的二元平方關(guān)系進(jìn)例4已知n>0，b>O，+{一2，求。

6、+6+行三角換元，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．解析令z—rcos0，Y—rsinO(OER，r>0)，則的最小值．由條件可知,-2COS+2rsin0cos0-r。COS一7，整理分析此題改編于武漢市2010屆高三2月調(diào)研試題．雖可利用直線(xiàn)的截距式方程分析得到“n得，．。sin(20+等)一7．那么，一√——，in(20+)+6+干_J’表示過(guò)點(diǎn)(4g，1)的直線(xiàn)在第一象限內(nèi)與坐標(biāo)軸正方向構(gòu)成的直角三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題，又由06R，>0得到≥，則(z+)：然而利用幾何性質(zhì)去研究的話(huà)，難度較大．那么，根據(jù)題中問(wèn)題結(jié)構(gòu)而采用三角換元的方法，也可順利．得解．點(diǎn)評(píng)這種“逆向”的處理方法不

7、失為一種有效解析設(shè)“一rCOSO，b===rsin0(r>0，0<<的解法探究．在教學(xué)實(shí)踐中，筆者也嘗試從幾何性)，則n+6+一r(cos0-1-sin0+1)．并由條質(zhì)進(jìn)行分析：即二次曲線(xiàn)X。十2xy—===7上的點(diǎn)還在一系列同心圓z+。一上，只要求最小半件+一2得到r—q面~-sin0+cos0znucSU，那么徑，體現(xiàn)了問(wèn)題的幾何本質(zhì)，這在一定程度上也加深ⅡSlO了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和理解．口+6+例3(2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)二次一—(，cosU+十S。imn+十1)函數(shù)-廠(chǎng)(z)：ace+(2b+1)z—a一2(n=2-0)在