最新凱萊-哈密頓法(1)教學(xué)講義PPT課件.ppt

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1、凱萊-哈密頓法(1)8用MATLAB求解系統(tǒng)方程6線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化7線性離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2.1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標(biāo)量齊次微分方程的冪級(jí)數(shù)解法假設(shè)其解為一冪級(jí)數(shù)（3）將（3）式代入（2）式這時(shí)系統(tǒng)的輸入為零2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為或其幾何意義是：系統(tǒng)從初始狀態(tài)開始，隨著時(shí)間的推移，由轉(zhuǎn)移到，再由轉(zhuǎn)移到，……。的形態(tài)完全由決定。2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)1）即2）即3）可逆性即4）傳遞性即5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有如果時(shí)，則2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法方法1根據(jù)定義，計(jì)算方法2應(yīng)用拉普拉斯變換法，計(jì)算對(duì)

2、上式求拉普拉斯變換，得如果為非奇異（9）LL（10）由微分方程解的唯一性L例2-2線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解于是L方法3應(yīng)用凱萊-哈密頓定理，計(jì)算凱萊-哈密頓定理：矩陣A滿足自身的特征方程。即根據(jù)凱萊-哈密頓定理（11）例用凱萊-哈密頓定理計(jì)算解由凱-哈定理：所以（11）式表明：是、、、、的線性組合（12）將（11）式代入（12）式，不斷地進(jìn)行下去，可以看出：、、、都是、、、、的線性組合（13）其中，，為待定系數(shù)。的計(jì)算方法為：1）A的特征值互異應(yīng)用凱-哈定理，和都滿足的特征方程。因此，也可以滿足（13）式。（其中，）寫成矩陣形式（14）于是（15）例2-3線性定

3、常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為用凱-哈定理計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解即2）A的特征值相同，均為（16）3）A的特征值有重特征值，也有互異特征值時(shí)，待定系數(shù)可以根據(jù)（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例2-4線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解應(yīng)用凱-哈定理計(jì)算A的特征值為于是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣方法4通過(guò)線性變換，計(jì)算因?yàn)槎驗(yàn)閷?duì)角陣的特殊性質(zhì)，有：1）矩陣A可以經(jīng)過(guò)線性變換成為對(duì)角陣，計(jì)算因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為例2-5線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為用線性變換方法，計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解（17）2）矩陣A可以經(jīng)過(guò)線性變換成為約當(dāng)形陣，計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（18）3）矩陣A可

4、以經(jīng)過(guò)線性變換成為模態(tài)形陣，計(jì)算如果矩陣A的特征值為共軛復(fù)數(shù)經(jīng)過(guò)線性變換，可轉(zhuǎn)換為模態(tài)矩陣M其中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為（19）2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為（20）改寫為（21）（21）式兩邊同乘得或?qū)懗桑?2）對(duì)（22）式在0到t時(shí)間段上積分，有（23）（24）（24）式兩邊同乘，并且移項(xiàng)（25）（26）（27）更一般情況，當(dāng)（28）由式（25）或式（27）可知，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)包括兩個(gè)部分。一部分是輸入向量為零時(shí)，初始狀態(tài)引起的，即相當(dāng)于自由運(yùn)動(dòng)。第二部分是初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入向量引起的，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。正是由于第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過(guò)

5、選擇適當(dāng)?shù)妮斎胂蛄?，使的形態(tài)滿足期望的要求。例2-8線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在例2-2中已經(jīng)求得由（26）式系統(tǒng)的輸出方程為則或（29）可見(jiàn)，系統(tǒng)的輸出由三部分組成。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出后，不同輸入狀態(tài)向量作用下的系統(tǒng)輸出即可以求出，進(jìn)而就可以分析系統(tǒng)的性能了。2.4線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析（30）線性時(shí)變系統(tǒng)方程為2.4.1齊次狀態(tài)方程的解（31）初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并且滿足以下方程（33）滿足初始條件（34）根據(jù)我們對(duì)線性定常齊次系統(tǒng)解的知識(shí)，可以假設(shè)線性時(shí)變齊次系統(tǒng)的解應(yīng)該具有以下形式，然后加以證明（32）證明（30）式兩邊對(duì)t求導(dǎo)并且時(shí)即2.4.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的

6、基本性質(zhì)1）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性3）傳遞性4）2.4.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算用級(jí)數(shù)近似法計(jì)算計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)?-9線性時(shí)變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（35）解將代入（35）式其中2.4.4線性時(shí)變系統(tǒng)非線性齊次狀態(tài)方程的解（38）（39）其解為證明[將（39）式代入狀態(tài)方程（38）式，等式成立]（40）或2.4.5系統(tǒng)的輸出（41）（42）或2.5線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣2.5.1線性時(shí)變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣假設(shè)系統(tǒng)初始條件為零，輸入為單位脈沖函數(shù)，即其中，τ為加入單位脈沖的時(shí)刻。而第i個(gè)分量就表示在時(shí)刻，僅在第i個(gè)輸入端施加一個(gè)單位脈沖。系統(tǒng)的輸出為：?（43）為

7、m維向量，它表示系統(tǒng)輸出對(duì)輸入的第i個(gè)元素在τ時(shí)刻加入單位脈沖時(shí)的響應(yīng)。將，按次序排列，則（44）線性時(shí)變系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣≥（45）2.5.2線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣≥脈沖響應(yīng)矩陣為（46）如果單位脈沖出現(xiàn)在τ=0的時(shí)刻，則脈沖響應(yīng)矩陣為≥（47）2.5.3傳遞函數(shù)矩陣與脈沖響應(yīng)矩陣之間的關(guān)系對(duì)（47）式求拉普拉斯變換L而（48）上式可改寫成（49）如果存在，則（50）將（50）式代入（48），得到（51）（52）當(dāng)D=0時(shí)可見(jiàn)，線性定常系統(tǒng)在初始松弛情