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1、認(rèn)識位置認(rèn)識位置上面下面前面后面請同學(xué)們找一找我們身體上的左右好朋友。找一找把數(shù)學(xué)書擺在中間,把鉛筆盒擺在數(shù)學(xué)書的左邊,把練習(xí)本擺在數(shù)學(xué)書的右邊。擺一擺1、數(shù)學(xué)書的左邊是什么,右邊是什么?2、鉛筆盒的右邊有哪些東西?你的左邊和右邊各是誰?說一說指一指蘋果上面是()面包下面是()()上面是牛奶()下面是蘋果雞蛋白菜雞蛋你還能怎樣說?白菜我的前面有幾個(gè)人?我的后面有幾人?我從前面數(shù)排第幾?從后面數(shù)排第幾?1、___住在最下面,是第__層。2、第2層住的是__,它住在___的上面____的下面。3、第4層是
2、___。1的右面是(),左面是(),上面是(),下面是()。在的左邊的右邊是在的左邊,在的右邊。今天,你學(xué)到了什么?小朋友再見!1張量的基本概念1.1角標(biāo)符號1.2求和約定1.3張量的基本概念1.4張量的某些基本性質(zhì)1.1角標(biāo)符號帶有下角標(biāo)的符號稱為角標(biāo)符號,可用來表示成組的符號或數(shù)組。例:直角坐標(biāo)系的三根軸x、y、z→x1、x2、x3→xi(i=1,2,3);空間直線的方向余弦l、m、n→lx、ly、lz→li(i=x,y,z);表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量σxx、σxy…→σij(i,j=x,y
3、,z);等等。如果一個(gè)角標(biāo)符號帶有個(gè)m角標(biāo),每個(gè)角標(biāo)取n個(gè)值,則該角標(biāo)符號代表nm個(gè)元素。例σij(i,j=x,y,z)有32=9個(gè)元素(即九個(gè)應(yīng)力分量)。1.2求和約定求和約定:如果在算式的某一項(xiàng)中有某個(gè)角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn),就表示要對該角標(biāo)自1~n的所有元素求和。例空間中的平面方程為:采用角標(biāo)符號A、B、C→a1、a2、a3→ai(i=1,2,3)x,y,z→xi(i=1,2,3)上式可寫成:采用求和約定則可簡記為:求和約定-合并例例1例2重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)稱為啞標(biāo),不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)稱為自由標(biāo)。自由標(biāo)不包含求
4、和的意思,但它可表示該表達(dá)式的個(gè)數(shù)。求和約定-展開例例1例2例3例4例5例61.3張量的基本概念只需一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來簡單的物理量稱為標(biāo)量。例如距離、時(shí)間、溫度等。需用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)分量來表示的物理量稱為矢量。例如位移、速度、力等。對于復(fù)雜的物理量,例如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)等,需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量(也即九個(gè)分量)才能完整地表示出來,這就是張量。張量是矢量的推廣,與矢量相類似,可以定義為:由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合稱為張量。物理量P在空間坐標(biāo)系xi(i=1,2,3
5、)中存在九個(gè)分量Pij(i,j=1,2,3);在新空間坐標(biāo)系xk(k=1’,2’,3’)中存在九個(gè)新分量Pkr(k,r=1’,2’,3’)。坐標(biāo)系間關(guān)系九個(gè)方向余弦可記為lki或lrj(i,j=1,2,3;k,r=1’,2’,3’)。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk),所以lki=lik,lrj=ljr。l3’3l3’2l3’1x3’l2’3l2’2l2’1x2’l1’3l1’2l1’1x1’x3x2x1張量概念及其判別式若物理量P在坐標(biāo)系xi中的九個(gè)分量Pij與在坐標(biāo)系xk中的九個(gè)分量P
6、kr之間存在下列線性變換關(guān)系:則這個(gè)物理量則為張量。用矩陣表示:張量所帶的下角標(biāo)的數(shù)目稱為張量的階數(shù)。Pij是二階張量,矢量是一階張量,而標(biāo)量則是零階張量。二階張量的判別式的矩陣形式1.4張量的某些基本性質(zhì)存在張量不變量張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f=f(Pij),其值與坐標(biāo)軸的選取無關(guān),即不隨坐標(biāo)而變,這樣的函數(shù)就叫做張量的不變量。對于二階張量,存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。張量可以疊加和分解幾個(gè)同階張量各對應(yīng)分量之和或差定義為另一同階張量。兩個(gè)相同的張量之差定義為零張量。張量可分對稱張量、非對稱張量、反
7、對稱張量若Pij=Pji,則為對稱張量;若Pij≠Pji,則為非對稱張量;若Pij=-Pji,則為反對稱張量。二階對稱張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值如取主軸為坐標(biāo)軸,則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量都將為零,只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量,稱為主值。1.5應(yīng)力張量外力確定后,受力物體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)即已確定。但表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的各個(gè)分量在不同坐標(biāo)系中將有不同的數(shù)值,因此在不同坐標(biāo)系中該點(diǎn)的應(yīng)力分量之間應(yīng)該存在一定的關(guān)系。設(shè)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為:在xi(i=x,y,z)坐標(biāo)系中為σij(i,j=x,y,z);
8、在xk(k=x’,y’,z’)坐標(biāo)系中為σkr(k,r=x’,y’,z’);σij與σkr之間的關(guān)系符合數(shù)學(xué)上張量的定義,即存在線性變換關(guān)系:因此,表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成一個(gè)二階張量,稱為應(yīng)力張量??捎脧埩糠枽襥j表示;由于切應(yīng)力互等,所以應(yīng)力張量是二階對稱張量;每一分量稱為應(yīng)力張量分量。根據(jù)張量的基本性質(zhì),應(yīng)力張量可以疊加和分解、存在三個(gè)主軸(主方向)和三個(gè)主值(主應(yīng)力)以及三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力張量不變量。