矩陣的秩及其求法.docx

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1、精品文檔第五節(jié)：矩陣的秩及其求法一、矩陣秩的概念1.k階子式定義1設(shè)Aaijmn在A中任取k行k列交叉處元素按原相對位置組成的k(1kminm,n)階行列式，稱為A的一個k階子式。1231共有C32C4218例如A4654334個三階個二階子式，有子式C4C3101112321而D3矩陣A的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為D2465kk01101為A的一個三階子式。顯然，mn矩陣A共有cmcn個k階子式。2.矩陣的秩定義2設(shè)Aaijmn有r階子式不為0，任何r+1階子式(如果存在的話)全為0,稱r為矩陣A的秩，記作()或秩()。RAA規(guī)定：零矩陣的秩

2、為0.注意：(1)如R(A)=r，則A中至少有一個r階子式Dr0,所有r+1階子式為0，且更高階子式均為0，r是A中不為零的子式的最高階數(shù)，是唯一的.(2)有行列式的性質(zhì)，R(A)R(AT).(3)R(A)≤,()≤,0≤()≤min{m,n}.mRAnRA(4)如果An×n,且A則R(A)=n.反之，如R(A)=n,則A0.0,因此，方陣A可逆的充分必要條件是R(A)=n.二、矩陣秩的求法1、子式判別法(定義)。1234例1設(shè)B0270為階梯形矩陣，求()。RB0000解由于12存在一個二階子式不為0，而任何三階子式全為0，則R(B)=2.002結(jié)論：階梯形矩陣的秩

3、=臺階數(shù)。例如2301211012521235108153A0101B01C010D034E0072001000001000000000RA3RB2RC3RD2RE3一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺階數(shù)”——非零行的行數(shù)。。1歡迎下載精品文檔a113,求a.例2設(shè)A1a1如果RA11aa11解RA3A1a1(a2)(a1)2011aa1或a2K111例3A1K1111K1111KRA3則K31111AK31K111)3(K3)11K(K1111K2、用初等變換法求矩陣的秩定理2矩陣初等變換不改變矩陣的秩。即AB則R(A)R(B)注：1.rirj只改變子行列式的符號。2

4、.kri是A中對應(yīng)子式的k倍。3.rikrj是行列式運算的性質(zhì)。求矩陣A的秩方法：1）利用初等行變換化矩陣A為階梯形矩陣B2）數(shù)階梯形矩陣B非零行的行數(shù)即為矩陣A的秩。1024例4A2136求RA.1112Ar22r110241024解0112011201120000R(A)=2。2歡迎下載精品文檔1112例5設(shè)A312,且R（A）2，求,536111211121112A3120344034453608540510R(A)2,50,105,1三、滿秩矩陣定義3A為n階方陣時，RAn,RAn,可見：RAn稱A是滿秩陣，（非奇異矩陣）稱A是降秩陣，（奇異矩陣）A0對于滿秩

5、方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據(jù)初等陣的作用：每對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個對應(yīng)的初等陣左乘A,由此得到下面的定理.定理3設(shè)A是滿秩方陣，則存在初等方陣P1,P2,,Ps.使得PsPs1,P2P1AE對于滿秩矩陣A，它的行最簡形是n階單位陣E.RAnA~ERAnA~En例如123123100100A212034011010E312023023001RAA3為滿秩方陣。關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：定理5R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}設(shè)A是mn矩陣，B是nt矩陣，性質(zhì)1R(A)R(B)nR(AB).性質(zhì)2

6、如果AB=0則R(A)R(B)n.性質(zhì)3如果()如果AB=0則B=0。RA=n,性質(zhì)4設(shè)A,B均為mn矩陣，則R(AB)R(A)R(B).例8設(shè)A為n階矩陣，證明R（A+E）+R（A-E）≥n證：∵（A+E）+（E-A）=2E∴R（A+E）+R（E-A）≥R（2E）=n而R（E-A）=R（A-E）∴R（A+E）+R（A-E）≥n。3歡迎下載精品文檔歡迎您的下載，資料僅供參考！致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學(xué)習(xí)資料等等打造全網(wǎng)一站式需求。4歡迎下載