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1、精選文檔數(shù)值分析第一次試驗(yàn)可編輯精選文檔可編輯精選文檔最佳平方逼近試驗(yàn)任兵(200820302025)、問題敘述三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。求函數(shù)f(x)=exp(x)在［-1,1］上的二、、問題分析可編輯精選文檔可編輯精選文檔使得由教材定義6.5有：對(duì)于給定的函數(shù)一*，、一，，、S(x)Span{0(x),f(x)C[a,b]1(X),L,n(X)}(x)f(x)S(x)dxmin(x)f(x)aaxba則稱S*(x)是f(x)在集合Span{0(x),1(x),L,顯然，求最佳平萬謾近函數(shù)S(x)n*aj0如果存在2.s(x)dxn(
2、X)｝中的最佳平方逼近函數(shù)。j(x)的問題可歸結(jié)為求它的系數(shù)可編輯精選文檔可編輯精選文檔f(x)2najj(x)dxj0an)是關(guān)于ao,a1,…，an的二次函數(shù),利用多元函數(shù)取得極值的必要條件,—0ak(k=0,1,2,…，n)Iakb2(x)af(x)najj(x)k(x)dx0j0a；,a*,,an,使多元函數(shù)bI(a0,a1,,an)a(x)a取得極小值，也即點(diǎn)(a0,a［，，2口)是19。，…，an)的極點(diǎn)。由于I(a。，a1，…,可編輯精選文檔得方程組naj.j0'b(x)k(x)j(x)dx(x)f(x)k(x)dx,(
3、k0,1,2,,n)可編輯精選文檔可編輯精選文檔如采用函數(shù)內(nèi)積記號(hào)(k,j)(x)k(x)j(x)dx,(f,k)(x)f(x)k(x)dx,可編輯精選文檔可編輯精選文檔那么，方程組可以簡(jiǎn)寫為n(k,j0j)aj(f,k)(k0,1,2,L,n)...(1)這是一個(gè)包含n+1個(gè)未知元a。，a1,…,an的n階線性代數(shù)方程組，寫成可編輯精選文檔可編輯精選文檔矩陣形式為0,00,1,1)1)1,n)n)LLLL(n,0)1)(n,n)an(f,(f,M(f,)))n)(2)此方程組叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程組。顯然，其系
4、數(shù)行列式就是克萊姆行列式Gn=Gn(0,1,…，n)o由于0,可編輯精選文檔可編輯精選文檔1,…，n線性無關(guān)，故Gn0,于是上述方程組存在唯一解akak(k0,1,,n)。從而月je了函數(shù)f(x)在Span{0(x),1(x),L,n(x)}中如果存在最佳平方逼近函數(shù)，則必是n_*,、*,.一、S(x)ajj(x)：...??(3)j0三、實(shí)驗(yàn)程序1、最佳平方逼近算法可編輯精選文檔可編輯精選文檔（1）輸入被逼近函數(shù)f（x）和對(duì)應(yīng)的逼近區(qū)間［a,b］并選擇逼近函數(shù)系｛a和權(quán)函數(shù)；（2）解方程組（1）或（2），其中方程組的系數(shù)矩陣和右端的
5、項(xiàng)由式（得到；（3）由式（3）得到函數(shù)的最佳平方逼近。2、將上述算法編寫成MATLAB程序共需三個(gè)程序：x)}3）1）第一個(gè)程序（函數(shù)名：squar_approx.m）計(jì)算最佳逼近函數(shù)的系數(shù)，源代碼如下：functionS=squar_approx(a,b,n)%定義逼近函數(shù)globali;globalj;ifnargin<3n=1;endPhi2=zeros(n+1);fori=0:nforj=0:n;％全局變量％判斷生成一個(gè)n+1*n+1大小的全0矩陣數(shù)組Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b);%求rho
6、_phi積分endendPhiF=zeros(n+1,1);％生成一個(gè)n+1*n大小的全0矩陣數(shù)組fori=0:nPhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b);%求fun_phi積分ends=Phi2PhiF;可編輯精選文檔(2)第二個(gè)程序(函數(shù)名：rho_phi.m)代碼如下：functiony=rho_phi(x)globali;globalj;y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);(3)第三個(gè)程序(函數(shù)名：fun_phi.m)functiony=fun_phi(x)globali;y
7、=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);四、試驗(yàn)結(jié)果f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。(1)編寫下面三個(gè)函數(shù)：外部函數(shù)；多項(xiàng)式函數(shù)；被逼近函數(shù)；functiony=rho(x)％外部函數(shù)y=1;functiony=phi_k(x,k)％多項(xiàng)式函數(shù)ifk==0y=ones(size(x));elsey=x.Ak;endfunctiony=obj(x)％被逼近函數(shù)y=exp(x)可編輯精選文檔(2)當(dāng)求的是二次逼近時(shí)得到如下結(jié)果>>clear>>S=squar_approx(-1,1,
8、2)S=0.99631.10360.5367繪制兩者的圖形：>>fun='exp(x)';>>fplot(fun,[-1,1])>>holdon>>xi=-1:0.1:1;>>yi=polyval(S,xi);>>plo
