實(shí)驗(yàn)三 線性系統(tǒng)的根軌跡

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1、實(shí)驗(yàn)三線性系統(tǒng)的根軌跡一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.熟悉MATLAB用于控制系統(tǒng)中的一些基本編程語句和格式。2.利用MATLAB語句繪制系統(tǒng)的根軌跡。3.掌握用根軌跡分析系統(tǒng)性能的圖解方法。4.掌握系統(tǒng)參數(shù)變化對特征根位置的影響。二、基礎(chǔ)知識及MATLAB函數(shù)根軌跡是指系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無窮大時(shí)，特征方程的根在s平面上的變化軌跡。這個(gè)參數(shù)一般選為開環(huán)系統(tǒng)的增益K。課本中介紹的手工繪制根軌跡的方法，只能繪制根軌跡草圖。而用MATLAB可以方便地繪制精確的根軌跡圖，并可觀測參數(shù)變化對特征根位置的影響。假設(shè)系統(tǒng)的對象模型可以表示為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可

2、以寫成對每一個(gè)K的取值，我們可以得到一組系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。如果我們改變K的數(shù)值，則可以得到一系列這樣的極點(diǎn)集合。若將這些K的取值下得出的極點(diǎn)位置按照各個(gè)分支連接起來，則可以得到一些描述系統(tǒng)閉環(huán)位置的曲線，這些曲線又稱為系統(tǒng)的根軌跡。繪制系統(tǒng)的根軌跡rlocus（）MATLAB中繪制根軌跡的函數(shù)調(diào)用格式為:rlocus(num,den)開環(huán)增益k的范圍自動(dòng)設(shè)定。rlocus(num,den,k)開環(huán)增益k的范圍人工設(shè)定。rlocus(p,z)依據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)繪制根軌跡。r=rlocus(num,den)不作圖，返回閉環(huán)根矩陣。[r,k]=r

3、locus(num,den)不作圖，返回閉環(huán)根矩陣r和對應(yīng)的開環(huán)增益向量k。其中，num,den分別為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)，按s的降冪排列。K為根軌跡增益，可設(shè)定增益范圍。例3-1:已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡的matlab的調(diào)用語句如下:num=[11];%定義分子多項(xiàng)式den=[1429];%定義分母多項(xiàng)式rlocus(num,den)%繪制系統(tǒng)的根軌跡grid%畫網(wǎng)格標(biāo)度線xlabel(‘RealAxis’)；ylabel(‘ImaginaryAxis’)；%給坐標(biāo)軸加上說明title(‘RootL

4、ocus’)%給圖形加上標(biāo)題名則該系統(tǒng)的根軌跡如圖3-1（a）所示。若上例要繪制K在（1，10）的根軌跡圖，則此時(shí)的matlab的調(diào)用格式如下，對應(yīng)的根軌跡如圖3-1（b）所示。num=[11];den=[1429];k=1:0.5:10;rlocus(num,den,k)（a）完整根軌跡圖形（b）特定增益范圍內(nèi)的根軌跡圖形圖3-1系統(tǒng)的根軌跡圖形1）確定閉環(huán)根位置對應(yīng)增益值K的函數(shù)rlocfind（）在MATLAB中，提供了rlocfind函數(shù)獲取與特定的復(fù)根對應(yīng)的增益K的值。在求出的根軌跡圖上，可確定選定點(diǎn)的增益值K和閉環(huán)根r（向

5、量）的值。該函數(shù)的調(diào)用格式為:[k,r]=rlocfind(num,den)執(zhí)行前，先執(zhí)行繪制根軌跡命令rlocus（num,den），作出根軌跡圖。執(zhí)行rlocfind命令時(shí)，出現(xiàn)提示語句“Selectapointinthegraphicswindow”，即要求在根軌跡圖上選定閉環(huán)極點(diǎn)。將鼠標(biāo)移至根軌跡圖選定的位置，單擊左鍵確定，根軌跡圖上出現(xiàn)“+”標(biāo)記，即得到了該點(diǎn)的增益K和閉環(huán)根r的返回變量值。例3-2:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求:（1）系統(tǒng)的根軌跡；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍；（3）K=1時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線。則此時(shí)的matl

6、ab的調(diào)用格式為:G=tf([1,5,6],[1,8,3,25]);rlocus(G);%繪制系統(tǒng)的根軌跡[k,r]=rlocfind(G)%確定臨界穩(wěn)定時(shí)的增益值k和對應(yīng)的極點(diǎn)rG_c=feedback(G,1);%形成單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)step(G_c)%繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線則系統(tǒng)的根軌跡圖和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3-2所示。其中，調(diào)用rlocfind（）函數(shù)，求出系統(tǒng)與虛軸交點(diǎn)的K值，可得與虛軸交點(diǎn)的K值為0.0264，故系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍為。2）繪制阻尼比和無阻尼自然頻率的柵格線sgrid()當(dāng)對系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自

7、然頻率有要求時(shí)，就希望在根軌跡圖上作等或等線。matlab中實(shí)現(xiàn)這一要求的函數(shù)為sgrid()，該函數(shù)的調(diào)用格式為:sgrid(,)已知和的數(shù)值，作出等于已知參數(shù)的等值線。sgrid(‘new’)作出等間隔分布的等和網(wǎng)格線。例3-3:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，由rlocfind函數(shù)找出能產(chǎn)生主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼=0.707的合適增益，如圖3-3(a)所示。G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);zet=[0.1:0.2:1];wn=[1:10];sgrid(zet,wn);holdon;rlocus(G)[k,r]=rlocf

8、ind(G)Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-0.3791+0.3602ik=0.6233r=-2.2279-0.3861+0.3616i-0.3861-0.3